魔方的“镜面理论”及其应用：魔方公式左右手转换

大屁孩

只要你有一定的空间想象力，看懂此文应该不难；如果你有一个魔方和一面镜子，那么这篇文章你肯定能看懂。当然你也得有点耐心才行。
    文中用到的图示及公式部分取材于Gan，文中用到的“我自己的解法”确是本人自己发现的，未参考其他资料。
今天（2011年7月3日）下午在家，转魔方。我入魔已经一年多了。但是速度一直上不去，最近到了30s以内，但是再提高就很吃力了，遇到瓶颈了。想想自己提高慢的原因，一方面是懒惰，没有好好练习；另一方面可能是因为我适合用左手（相对于U，我更喜欢U’），而公式是适合右手的。
于是我想到了可不可以把右手的公式换成左手的。我学过手性分子，也就是镜面对称分子。联想到镜子，于是就突然有灵感了。
我想到了一个例子：
PLL 1与PLL 2需要交换块的围成图形及方向是关于镜面左右对称的，如下图所示：

OLL 43 与OLL 44 是关于镜面左右对称的，如下图所示：

根据这个例子我又想到了一个例子：
F2L 31与F2L 34是关于镜面左右对称的（因为图形的左下部分为前，所以F2L 34 需要做一个y才与F2L 31对称），如下图所示：

再来一个例子：

根据这几个例子，我们可以把所有的右手公式转换成左手的：把想要转换公式的图形做左右对称转换，再把转换后的图形对应的公式做如下转换即可（根据前文归纳总结出来的）：
U→U’,U’→U, U2不变；u→u’,u’ →u,u2不变。
D→D’,D’→D, D2不变；d→d’,d’ →d,d2不变。
F→F’,F’→F，F2不变；f→f’,f’ →f,f2不变。
B→B’,B’→B, B2不变；b→b’,b’ →b,b2 不变。
R→L’,R’→L,R2→L2；r→l’,r’→l,r2→l2.
L→R’,L’→R,L2→R2；l→r’,l’→r,l2→r2.
x不变，x’不变，x2不变；
y→y’,y’→y,y2不变；
z→z’,z’→z,z2不变。
M不变，M’不变，M2不变；
E→E’,E’→E,E2不变；
S→S’,S’→S,S2不变。

总结一下，所有带2的都不变，因为带2的都是转180°，两个相反方向的180°相差360°（一圈），所以两个图形是一样的。由于是左右转换，所以R、L这两个方向的都转成对称面的相反方向，x、M这几个方向都不变，而其他方向都只转成相反方向。拿个镜子放在魔方左边或右边照一照就一目了然了。
另外还需说明一些特殊情况：有的图形是自左右对称的，所以就直接转换公式就可以了。例如：
OLL 1，
还有的图形的左右对称转换是自己图形的翻转，例如：
OLL 17，
转换完之后的图形是本身做U，那解法就是转换完后的公式前加一个U。
之前讨论的是左右对称转换，那么延伸考虑一下，上下转换和前后转换是怎么样的呢？加上之前的一共3个方向：左右、上下、前后，大家可以根据之前的总结自己考虑考虑。

[ 本帖最后由 大屁孩 于 2011-7-13 21:06 编辑 ]

大屁孩

继续做一下延伸。（2011年7月4日）
之前讨论的是平行于某个面的对称，那么再重新选对称面，平行于一条棱且与和这条棱相连的两个面都呈45°的面。魔方有12条棱，而且中心对称，所以一共有6个方向：左前-右后、右前-左后、上前-下后、下前-上后、左上-右下、左下-右上。
以左前-右后这个方向（对称面平行于左后上、右前上、右前下、左后下这四个顶点围成的四边形所在的面）为例。
利用镜子可以发现，对应的转换关系为：
U→U’,U’→U, U2不变；u→u’,u’ →u,u2不变。
D→D’,D’→D, D2不变；d→d’,d’ →d,d2不变。
F→R’,F’→R,F2→R2；f→r’,f’→r,f2→r2。
R→F’,R’→F,R2→F2；r→f’,r’→f,r2→f2。
B→L’,B’→L,B2→L2；b→l’,b’→l,b2→l2。
L→B’,L’→B,L2→B2；l→b’,l’→b,l2→b2。
y→y’,y’→y,y2不变；
x→z’,x’→z,x2→z2；
z→x’,z’→x,z2→x2。
E→E’,E’→E,E2不变；
M→S’,M’→S,M2→S2；
S→M’,S’→M,S2→M2。

总结一下，U、u、y、E这几个都是魔方一层或几层水平方向转，与对称面垂直，所以都是转换成相反的方向。而其他方向是两两对应：F、f、z、S这几个都是分别对应R’、r’、x’、M’（这几个方向是关于所选镜面的平行面对称的）；B、b、z’、S’ 这几个都是分别对应L’、l’、x、M（这几个方向是关于所选镜面的平行面对称的）。后面的两两对应都是魔方一层或几层对应着一个方向转,前文中提到过。同样，这些照着镜子可以看出来。
找个例子验证一下：
OLL 17 本身关于上述所选对称面对称，所以直接按照转换方式转换，就可以得到另一个解法。
Gan的解法：

R
U
R' U
R' F
R
F'
U2 R' F R
F'
转换之后的解法：F’U’F  U’F  R’F’R U2  F R’F’R
验证发现转换之后的解法可以完成同样效果（顶层色相正确，顶层方块侧面颜色不考虑）。可惜其应用不大， 其他5个方向原理是一样的，这里就不继续讨论了。
本想继续延伸，重新选对称面。与魔方体对角线垂直的面，魔方有8个顶点，所以这样的面有8个，同上，有4个方向：左前上-右后下、左后上-右前下、右前上-左后下、右后上-左前下。
但是后来发现这样镜面里的魔方不是原魔方的标准方向，因此这种情况不需考虑。因为找不到一个面，使得魔方一个顶点连接的三个面与这个面都呈90°或45°。
由此猜想在高维魔方里可能会存在这种情况，只是猜想，因为我没研究过高维魔方。也就是在多维空间的情况。（电影《心慌方2》提出过四维空间，推荐大家把整个系列共三部看一下，土豆里有资源，可以在线看。）

[ 本帖最后由 大屁孩 于 2011-7-13 21:07 编辑 ]

大屁孩

今天（2011年7月5日）讨论一下这个理论在高阶魔方（以四阶为例）中是否适用。
高阶魔方比三阶魔方多了两种转法:M和T。


MR指的是从右往左数第二层顺时针转90°，TR指的是右边两层一起顺时针转90°。
对照镜子，根据之前的结论推断：M和T的转换和对应的三阶魔方边层的转换一致。如：MR的转换与R的转换一致，TR的转换与R的转换一致。
举例验证：
四阶魔方的单棱翻转公式


1、对称面为左右
以左下面为前的话，它是本身左右对称的。按照推论转换后的公式是：
ML2 B2 U2 MR’U2 ML U2 ML’U2 F2 ML’F2 MR B2 ML2
根据这个公式得到的结果和原公式得到的结果一样，所以验证正确。
2、左前-右后这个方向（对称面平行于左后上、右前上、右前下、左后下这四个顶点围成的四边形所在的面）
对称之后的魔方为原魔方做一下y’，所以需要再转换后的公式前加一个y’，最终的公式为：
y’MF2 L2 U2 MB’U2 MF U2 MF’U2 R2 MF’R2 MB L2 MF2
根据此公式得到的结果与原公式同样得到相同的结果。再次验证正确。
单棱翻转还有一个公式，把M换成T，这样
做的效果是这样的：


单棱翻转的同时交换了两个角块和两组棱，公式是:
TR2 B2 U2 TL U2 TR’U2 TR U2 F2 TR F2 TL’B2 TR2
同样的，以左右为对称面，转换后得到的公式为：
TL2 B2 U2 TR’U2 TL U2 TL’U2 F2 TL’F2 TR B2 TL2
以左前-右后（对称面平行于左后上、右前上、右前下、左后下这四个顶点围成的四边形所在的面）为对称面，转换后得到的公式为：
y’TF2 L2 U2 TB’U2 TF U2 TF’U2 R2 TF’R2 TB L2 TF2
经过验证，这些公式都是正确的。
结论：该理论也适用于高阶魔方。

[ 本帖最后由 大屁孩 于 2011-7-13 21:11 编辑 ]

大屁孩

此理论运用于二维空间的话就只有上下左右四个方向。上←→下、左←→右；上←→左、下←→右、上←→右、下←→左。四个方向上有这六种方向组合。另外四个方向顺时针转90°，那么方向替换就变成：上→右、右→下、下→左、左→上；逆时针转90°，就变成：上→左，左→下、下→右，右→上。这样三种转换，可以调换一个，也可以调换多个，情况会很多。正好电脑和手机都有这四个键， 所以可以考虑游戏应用。（此段编辑于2011年7月7日）

根据之前讨论的结果，本人觉得已经形成一个理论的雏形，暂取名为“镜面理论”，欢迎各位补充完善。
根据此理论可以把所有适合用右手的公式转换成左手的。现在本人毕业不久，刚开始工作，可能空闲时间不多，但我会尽量抽出时间把119个公式转换成左手的。至于这个理论在其他方面的应用未被深入考虑，因为理论尚不完善。
如果引入三维坐标系可能会更加系统，但是鉴于很多魔友没学过，所以弃用之。
以上部分图示及公式取材于Gan，其余全部为本人原创，特此声明。不知之前有没有前辈讨论过，希望我没有班门弄斧。如有错误，欢迎指正。

大屁孩

QQ：1751550520（魔）

2011年7月13日

[ 本帖最后由 大屁孩 于 2011-7-13 19:29 编辑 ]

大屁孩

这是我用5天的时间写出来的。自己给自己顶一个。沙发！

[ 本帖最后由 大屁孩 于 2011-7-13 19:31 编辑 ]

Crazy Tien

我没有断楼吧…………

铯_猪哥恐鸣

额楼上不可能断楼。。白魔每小时只能发5个帖子吧。。。

Cielo

如果左右对称，那么
F<-->F'
B<-->B'
U<-->U'
D<-->D'
L<-->R'
R<-->L'
如果关于 左上-右下 这条斜线对称，那么
F<-->R'
B<-->L'
U<-->U'
D<-->D'
L<-->B'
R<-->F'

[ 本帖最后由 铯_猪哥恐鸣 于 2011-7-13 19:18 编辑 ]

Caro

表示 发帖数不够用 杯具的白魔路过 ……

cdaheb

lz是不是想说的都还没说就被限制了？