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标题: 各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 和 “ N 陪集魔方”拓展 [打印本页]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:28:07     标题: 各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 和 “ N 陪集魔方”拓展

本帖最后由 ggglgq 于 2013-11-15 17:06 编辑

　　
　　  
  
    “奇偶差异性魔方”和“ N 陪集魔方” 是魔方家族中最常见的重要分支。
  
     本文利用“循环变换”来介绍“奇偶差异性魔方”的概念、判定 及 特性 等
  
内容。使大家了解“循环变换”在“奇偶差异性魔方”和“ N 陪集魔方”上的应用！
  
  
   
　　
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:30:04

一、“奇偶差异性魔方” 的定义：

如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。
我们称这种具有“奇偶差异性”的 魔方 为“奇偶差异性魔方”。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 09:59 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:31:57

二、常见实例：

1、一维“奇偶差异性魔方” 实例： n 级排列的 奇偶差异性（魔方） 。


定义 1 ：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。

例如，2 3 1 是一个 3 级排列，4 5 3 2 1 是一个 5 级排列。

显然 1 2 … n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排
起来的；

其他的排列都或多或少地破坏自然顺序。

定义 2 ：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数 大于
后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

例如 2 3 1 中，2 1，3 1 是逆序， 2 3 1 的逆序数就是 2 。而 4 5 3 2 1 的逆序数
是 9 。


定义 3 ：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例如，2 3 1是偶排列；4 5 3 2 1 是奇排列；1 2 … n 的逆序数是零，因之是偶排列。


把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个
变换称为一个对换。例如，经过 1，2 对换，排列 2 4 3 1 就变成 1 4 3 2 ，排列 2 1 3 4
就变成 1 2 3 4 。 显然，如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了。




关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实：

经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。

经过两次对换，不改变排列的奇偶性。

从而可以推理得到：对换 奇 次改变排列的奇偶性，对换 偶 次不改变排列的奇偶性。



因此一维 n 级排列 1 2 … n （魔方）的“循环变换”的长度只能为 偶数 。

故 n 级排列 1 2 … n （魔方）是 奇偶差异性（魔方）。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:00 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:40:20

2、二维“奇偶差异性魔方” 实例：

2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；

平面 N 阶（块移动）魔方： [url=http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517]由二元置换看魔方的奇偶性[/url]（作者：noski ）

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517

0123 魔方 实例，她只有长度为 2、4、6 的循环变换；

（作者：ggglgq ） http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5798


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:01 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:48:47

3、三维“奇偶差异性魔方” 实例：

正六面体 N 阶魔方 全部都是 “奇偶差异性魔方”，因为她们只有长度
为偶数的循环变换。 注意： 旋转 180 度 算 两步。


正六面体 N 阶（块移动）魔方：（推移魔方）Xdyne's Cube单机版下载

（作者：fnlq） http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3075

其他三维“奇偶差异性魔方” 简例：


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:02 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:52:35

三、“奇偶差异性”魔方的判定

1、根据 “奇偶差异性”魔方的定义 判定：
对于构造简单的魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，
判定一个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。
比如：1. 正六面体三阶魔方 每面旋转 90 °、 180 °都按一步计算，
存在 U U2 U 的“循环变换”，故 正六面体三阶魔方 相对于 每面旋转 90 °、
180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方 非“奇偶差异性”魔方。

2. 2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此
2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。



由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举
来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的 判定定理 来判定。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:03 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 10:55:49

2、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：
a. 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换 移动
魔方块，如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性，那么
我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。 （即：魔方块的位态
与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态 只能“奇数”
步到达，“偶数”的位态 只能“偶数”步到达，不能互相参合）







b.“奇偶差异性”魔方的判定定理：如果魔方的每个块的所有位态都
具有“奇偶差异性”，那么 这个魔方具有“奇偶差异性”。
定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少
存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的
位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”
的位态。 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾，
故定理得证。
上面的定理告诉我们，只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否
具有“奇偶差异性”，就可以判定 这个魔方 是否 具有“奇偶差异性”了。
说是 魔方的 所有块 ，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“代表块”，
其它的可同理得证。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:06 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 11:01:23

四、“奇偶差异性魔方”的性质：


1、如果一个具有“奇偶差异性”的魔方，同时具备这个魔方所在的空间各个
方向的几何对称性，那么这个魔方具有“奇、偶状态数相等”的属性，即 奇、偶
状态数都是 总状态数 的一半。

比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等，都是总状态数
的一半。


2、“奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方 的 奇、偶状态
独立。

由于 “奇偶差异性”的魔方 只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的
任何 奇数 步长 的变换都无法被 偶数 步长 的变换 表示，从而决定了这种魔方的
“奇、偶差异性”，即 这种魔方 的 奇、偶状态 独立。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:07 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 11:08:24

　3、“奇偶差异性魔方”的“最远状态”与“奇偶性”无关。


大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关，
实际上这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。




“奇偶差异性魔方”“最远状态”是奇数的例子： 0123 魔方 实例



“奇偶差异性魔方”“最远状态”是偶数的例子： 2×2 平面魔方


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-11 10:08 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 11:15:51

　　
　　  
　　
　　五、拓展推广：
  
  
      奇偶差异性魔方的定义也可以这样给出，以便拓展推广“ N 陪集魔方”。
  
　　如果一个魔方仅存在步长为偶数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。
  
我们称这种具有“奇偶差异性”的 魔方 为“奇偶差异性魔方”。
  
  
　　如果魔方仅存在步长为 偶数 的循环变换，则称这个魔方为“ 二 陪集魔方”。
  
  
　　如果魔方仅存在步长为 3 倍数的循环变换，则称这个魔方为“ 三 陪集魔方”。
   
  
　　如果魔方仅存在步长为 N 倍数的循环变换，则称这个魔方为“ N 陪集魔方”。
  
  　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-18 17:09 编辑 ]
作者: 阿猪    时间: 2008-4-8 11:46:11

作者: rockboy1991    时间: 2008-4-8 12:08:48

不懂楼主是什么意思!~~~~~~~~~
作者: ggglgq    时间: 2008-4-8 13:15:16

最近“理论派”魔友正在研究这个东东，这里给出归纳总结！


比如这个帖子： 由二元置换看魔方的奇偶性 ， 请大家参考。


http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7517

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-2-18 17:15 编辑 ]
作者: warming    时间: 2008-4-8 13:15:45

这个太有理论了``没心机看``找个人来给我当面说```
作者: arimaspu    时间: 2008-4-8 14:03:02

提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: ggglgq    时间: 2009-2-16 00:39:36

　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　 最近《关于魔方最少步数的问题》主题的探讨涉及到此问题，顶出来方便浏览！
　　　　　　　　
　　 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=21997&extra=page%3D1&page=1　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
作者: juventus66    时间: 2009-2-19 14:00:29

学习了
作者: 美景    时间: 2009-2-27 09:35:48

支持了！顶楼主！呵呵！
作者: dkzx    时间: 2009-3-19 11:17:15

前面是看明白了，但后面没心机看了。。。
作者: noski    时间: 2009-7-8 13:28:22

对于“奇偶差异性魔方”的概念是懂的，不过对于“陪集”的概念不甚明了，还请g老师解读一下。。
我的理解是这样：
1. 比如对于奇偶差异性魔方来说，魔方正常的状态数为N，这N个状态之中，奇性质的状态有N / 2个，偶性质的状态有N / 2个，如果拆分开来，奇状态集和偶状态集的结构是相同的，所以叫二陪集，但这两个集合之间是可到达的。
2. 另一种想法是，魔方正常的状态数为N，错装的状态数有m个N，这（m+1）个N状态集合之间是不可到达的，那么这叫（m+1）陪集；
不太懂陪集的概念，不知哪个更正确一点呢？
作者: ggglgq    时间: 2009-7-9 10:17:19

原帖由 noski 于 2009-7-8 13:28 发表

对于“奇偶差异性魔方”的概念是懂的，不过对于“陪集”的概念不甚明了，还请g老师解读一下。。
我的理解是这样：
1. 比如对于奇偶差异性魔方来说，魔方正常的状态数为N，这N个状态之中，奇性质的状态有N / 2个，偶性质的状态有N / 2个，如果拆分开来，奇状态集和偶状态集的结构是相同的，所以叫二陪集，但这两个集合之间是可到达的。
2. 另一种想法是，魔方正常的状态数为N，错装的状态数有m个N，这（m+1）个N状态集合之间是不可到达的，那么这叫（m+1）陪集；
不太懂陪集的概念，不知哪个更正确一点呢？

　　
　　
  
  
    “陪集”是群论中的基本概念（相关内容请大家自己查阅相关资料）。我在
  
循环变换理论中赋予它“ N 陪集”的特别意义！ 它的含义应该是指你理解的 1
  
而绝非 2 。
  
    在整数集合中谈“ N 陪集”大家可能容易理解接受。比如 对于任意正整数
  
N ，整数集合的所有元素被 N 除后的余数为 0 、 1 、 2 、  ...  、 N-1 ，
  
因此 整数集合被 模 N 分为 “  N 陪集”  。
　　
　　
　　
　　
　　
作者: 溪风    时间: 2009-7-16 11:45:08

好难理解呀...学习中...
作者: lylylyly    时间: 2010-4-11 21:20:27

“陪集”是群论中的基本概念,它是一个群相对于其子群而言的．乘法群同一陪集中的两个元素，相差一个子群中的因子（若非正规子群，则左陪集对应左因子．右陪集对应右因子）可交换的加法群中，同一陪集中的两个元素，相差一个子群（必为正规子群）中的加数项．整数集合中所谈“ N 陪集”，其对应子群即为N 的倍数所组成．亦即整数加群对该子群的陪集，故欲谈陪集，先得搞清大群和其子群，子群是否正规，相应考虑是否要分左右陪集
作者: lylylyly    时间: 2010-4-11 21:44:21

以三阶纯色魔方为例，循坏变换指方块的置换中，分解出来的环结构．但这里似乎指的是操作序列，即公式．但公式的步长是任意的，看来另有要求，不明何指
Ｎ倍长的公式确成子群，所有的公式也构成群，其乘法为公式的相继施行，并且前者为后者的子群，但非正规．故可谈左或右陪集．但这样的陪集意义何在，不明
作者: lylylyly    时间: 2010-4-12 07:47:01

如按上述理解,由于N是任意的,故三阶纯色魔方可分成1陪集,2陪集,3陪集,等等.从而可以是任意数陪集.看来上述理解有问题
作者: ggglgq    时间: 2010-4-13 00:53:01

　　
　　
  
     N 陪集魔方 是 左陪集＝右陪集，并且 N 个陪集两两交集为空集 的陪集。
  
它们对公式的长度来说，严格被 模 N 分为 “　N 陪集”，即同一 陪集 中的
  
两个状态 之间的步长互相都相差 N 的整数倍。
  
  
    提醒一下，对于 正六面体 N 阶魔方 来说，它们只能构成 “ 二 陪集魔方”、
  
“ 四 陪集魔方”。 其中的 “ 二 陪集魔方” 就是 “奇偶差异性魔方” 。
　　
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-25 20:05:12

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-26 10:22 编辑
ggglgq 发表于 2010-4-13 00:53
　　
　　
  


n是多少时是四陪集魔方？
　　
_______________________________________________________________________________________________
  
  
  
    对于 正六面体 M 阶魔方 来说 N 是 4 时是四陪集魔方。
   
                                                                            ggglgq 回复
  
  
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-25 20:08:54

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-26 10:25 编辑
ggglgq 发表于 2008-4-8 10:30
一、“奇偶差异性魔方” 的定义：

如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异 ...


魔方不存在步长为奇数的循环变换和魔方存在步长为偶数的循环变换是一个意思吗？

　　
_______________________________________________________________________________________________
  
  
  
              不是。  
  
                                                                            ggglgq 回复
  
  
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-25 20:14:09

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-26 10:31 编辑
ggglgq 发表于 2008-4-8 10:55
2、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：
a. 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换  ...


什么是魔方块的位态？
　　
_______________________________________________________________________________________________
  
  
  
  http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... p;page=6#pid1803502
  
  
                                                                            ggglgq 回复
  
  
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-25 20:24:40

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-26 10:32 编辑
ggglgq 发表于 2008-4-8 10:30
一、“奇偶差异性魔方” 的定义：

如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异 ...


除了”循环变换“，能用排列或者”奇偶差异性魔方的其它性质“给出“奇偶差异性魔方"的定义吗？因为”循环变换“的定义涉及高深的群论，很难使一般人理解。我就没彻底理解。

　　
　　
_______________________________________________________________________________________________
  
  
  
         可以用。  
  
                                                                            ggglgq 回复
  
  
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-27 16:28:54

ggglgq 发表于 2008-4-8 10:48
3、三维“奇偶差异性魔方” 实例：

正六面体 N 阶魔方 全部都是 “奇偶差异性魔方”，因为她们只有长度
...

既然”正六面体 N 阶魔方 全部都是 “奇偶差异性魔方”，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意： 旋转 180 度 算 两步。“
怎么26l楼又说： 提醒一下，对于 正六面体 N 阶魔方 来说，它们只能构成 “ 二 陪集魔方”、“ 四 陪集魔方”。 其中的 “ 二 陪集魔方” 就是 “奇偶差异性魔方” 。
看到这里我有点不明白了，“ 四 陪集魔方”也是 “奇偶差异性魔方”吗？
作者: ggglgq    时间: 2013-9-28 07:57:53

　　
　　
　　
　　
  
    当然是。 “ 六 陪集魔方”、“ 八 陪集魔方” ...“ 2N 陪集魔方” 都是
  
“奇偶差异性魔方”。
  
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-9-30 22:09:33

既然“2N 陪集魔方”是“奇偶差异性魔方”，为什么又 提醒一下，对于 正六面体 N 阶魔方 来说，它们只能构成 “ 二 陪集魔方”、“ 四 陪集魔方”。其中的 “ 二 陪集魔方” 就是 “奇偶差异性魔方” 。
红色字体使我理解为“ 四 陪集魔方”不是“奇偶差异性魔方”。
原来不是
作者: 黑白子    时间: 2013-9-30 22:22:51

本帖最后由 ggglgq 于 2013-10-6 10:15 编辑

请不用循环变换给出“奇偶差异性魔方”的定义吧？方便我等理解。
　　
______________________________________________________________________________________
  
     可以利用我前面提到的《“奇偶差异性”魔方的判定定理》来定义。
  
                                            ggglgq   回复
  
  
　　
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-10-3 21:09:34

本帖最后由 ggglgq 于 2013-10-6 10:16 编辑
ggglgq 发表于 2008-4-8 11:01
四、“奇偶差异性魔方”的性质：


用奇数步还原的状态就是奇状态，用偶数步还原的状态就是偶状态。我理解的对吗？
　　
______________________________________________________________________________________
  
          可以这样理解。
  
                                            ggglgq   回复
  
  
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-10-3 21:09:34

本帖最后由 ggglgq 于 2013-10-6 10:18 编辑

步长必须统一才能确定奇偶性，对吗？
　　
______________________________________________________________________________________
  
      对。                                         ggglgq   回复
  
  
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-10-11 11:18:42

ggglgq 发表于 2008-4-8 11:15
　　
　　  
　　

N 陪集魔方是否存在N种状态，每种状态数都相等，即都是总状态数的N分之一。
作者: 黑白子    时间: 2013-10-11 11:23:55

本帖最后由 ggglgq 于 2013-10-12 16:29 编辑

二 陪集魔方和奇偶差异性魔方是一个概念吧？
  
_______________________________________________________________
   
          是一个概念。                                ggglgq   回复
  
  
  
  
  　　
　　
　　
作者: 晕晕、、    时间: 2013-10-11 13:16:09

支持理论帝
作者: ggglgq    时间: 2013-11-12 20:53:12

本帖最后由 ggglgq 于 2013-11-12 21:09 编辑

　　
  
    下面举几个“ N 陪集魔方”的实例，以备大家理解和参考：
  
  
    三陪集魔方 实例：
  
    正四面体二阶魔方（Skewb）

  
    正六面体四轴二阶魔方（Skewb）

  
    正十二面体 三陪集魔方

   
  
  
    五陪集魔方 实例：  
  
    (仅举两个实例，举多了也没多大意思，大家理解了就好) ：
  

  

　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
作者: Fenz    时间: 2013-11-15 12:34:39

谈奇偶差异应当基于簇，以及簇之间的奇偶关联。基于魔方的话太模糊了。“N陪集”的定义也只适用于正多面体群的魔方，范围窄了些。
立方体魔方也是有无奇偶差异的簇，比如6阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇，像五魔方的的簇一样，无法通过正常转动进行奇偶变换。
作者: ggglgq    时间: 2013-11-15 16:21:28

本帖最后由 ggglgq 于 2013-11-15 16:56 编辑
Fenz 发表于 2013-11-15 12:34
谈奇偶差异应当基于簇，以及簇之间的奇偶关联。基于魔方的话太模糊了。“N陪集”的定义也只适用于正多面体群的魔方，范围窄了些。


　　
　　
  
    楼上的观点本人不太赞同，我前面举的例子是为了让各位魔友容易理解，尽量
  
举简单易懂的魔方，但“ N 陪集魔方”可没楼上的这位魔友想象的那么简单呀。
   
    一、我的“奇偶差异性魔方”的定义不可能否认魔方簇之间的奇偶关联，相反
        我在 7 楼、34楼等楼层多次提到的 《“奇偶差异性”魔方的判定定理》恰恰
        运用和重视了“魔方簇之间的奇偶关联”。
  
    二、“ N 陪集魔方 的定义也只适用于正多面体群的魔方”的观点是错误的。
        N > 2 的例子我就不必举了，仅就 N = 2 的例子就不胜枚举，除了 M×N×P 阶
        长方体魔方的反例外，还有像下面“奇偶差异性”魔方中右边两个也是反例呀：
  

  
　　
　　
　　
　　
作者: ggglgq    时间: 2013-11-15 16:25:34

本帖最后由 ggglgq 于 2013-11-16 08:39 编辑
Fenz 发表于 2013-11-15 12:34
立方体魔方也是有无奇偶差异的簇，比如6阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇，像五魔方的的簇一样，无法通过正常转动进行奇偶变换。　　


　　
　　
  
    三、“立方体魔方也是有无奇偶差异的簇”的观点是错误的。
        根据我对正六面体 N 阶魔方的粗浅了解，正六面体 N 阶魔方“所有簇”都具备
        “奇偶差异性”，包括“中心簇”也具备“奇偶差异性”。  至于 Fenz 所说的：
   
        “6阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇，无法通过正常转动进行奇偶变换。”
  
        我怎么觉得可能是 Fenz 眼花了看错了吧？！ 它们是具备“奇偶差异性”的呀。
   
或许 Fenz 的意思是说“6 阶魔方某一面的第2列第3行面块所在的簇”是“两镜像簇”，
  
它俩“镜像簇”之间无法通过正常转动进行“块交换”，对吗？ “镜像簇”永远都无法
  
通过正常转动进行“块交换”，也无需进行“块交换”，但这并不影响“奇偶差异性”呀。
  
“镜像簇 无法通过正常转动进行 块交换”与“奇偶差异性”是两回事，
   
它能自身奇偶交换就足够了，故 正六面体 N 阶魔方“镜像簇”也具备“奇偶差异性”。  
　　
  
    总之，“ N 陪集魔方”的范围虽小，但它涵盖了我们现有魔方的 90 % 以上，只有
  
把它们研究好了才能更好地研究更广泛的魔方呀，这是“不可或缺”、“至关重要”的。
  
  
　　
　　
　　
作者: 黑白子    时间: 2013-11-19 21:24:35

这几天魔方吧打不来，今天才看到。
作者: Fenz    时间: 2013-11-24 10:58:22

ggglgq 发表于 2013-11-15 16:25
　　
　　
  

这个是我看错了，把两个簇看成了一个簇，抱歉
作者: Fenz    时间: 2013-11-24 11:06:45

ggglgq 发表于 2013-11-15 16:21
　　
　　
  

这右边两个都是两极魔方，和左边的三阶长得虽像，却有质的区别，根本不满足10楼的定义。其中中间的魔方不具备奇偶差异性。
作者: ggglgq    时间: 2013-11-25 08:58:27

Fenz 发表于 2013-11-24 11:06
这右边两个都是两极魔方，和左边的三阶长得虽像，却有质的区别，根本不满足10楼的定义。其中中间的魔方不具备奇偶差异性。


　　
  
    我想，不会是 Fenz 又看错了吧？！呵呵。
  
    我怎么看下面的魔方
  

  
都满足10楼的定义，都具备奇偶差异性呀。
  
  
    顺便说一下，中间的魔方“具备奇偶差异性”是指它的侧面按 180度 旋转，它的两极面
  
按 60度 旋转，此时，中间的魔方“具备奇偶差异性”。即便强行规定它的两极面按 120度
  
旋转，这时中间的魔方“不具备奇偶差异性”，但这并不影响它的两极面按 60度 旋转时的
   
魔方“具备奇偶差异性”。 就如同虽然 6 是 3 的倍数，但不能说 6 不是 偶数， 6 虽然
  
是 3 的倍数， 但 6 仍然是具备 偶数 性质的，6 还是 偶数 。
  
　　
　　
　　
　　
　　
作者: Fenz    时间: 2013-11-25 09:41:07

ggglgq 发表于 2013-11-25 08:58
　　
  
    我想，不会是 Fenz 又看错了吧？！呵呵。

又看差了，不好意思。不过180°转动不符合10楼定义吧
作者: 钱游湖    时间: 2013-11-25 13:01:56

元老级魔友们的讨论，小菜鸟看不懂55555
作者: ggglgq    时间: 2013-11-25 13:20:15

Fenz 发表于 2013-11-25 09:41
又看差了，不好意思。不过180°转动不符合10楼定义吧

　　
  
    没关系，探讨魔方时看错是常有的事。希望我们日后多交流探讨，共同提高魔方理论水平。
  
“魔方 180° 转动”对于“奇偶差异性”而言是没有问题的，比如，对于长方体 M×N×P 阶
  
魔方而言，限定各转层都转 180°，仍然是“奇偶差异性”魔方。
　　
　　
　　
作者: Fenz    时间: 2013-11-26 11:57:38

ggglgq 发表于 2013-11-25 13:20
　　
  
    没关系，探讨魔方时看错是常有的事。希望我们日后多交流探讨，共同提高魔方理论水平。

奇偶差异性自然是没有问题的。我想表达的是这里的180°转动产生的是两个2循环，按10楼定义属于2陪集的变换，但它和奇数循环一样是偶变换，不产生奇偶差异性。

我早些时候对10楼的定义没好好理解，表达的内容有误，没体现我想表达的意图。

现在假设一个像三阶魔方，却只能转180°（比如像奥斯卡那样把层宽设计得不相等）的魔方，每次转动是角和棱分别两个2循环，属于2陪集魔方，但不是奇偶差异性魔方。
作者: ggglgq    时间: 2013-11-26 16:36:41

　　
　　
  
  
    唉，我知道 Fenz 错在哪里了。 Fenz 认为“奇偶差异性魔方”≠“ 2 陪集魔方”，
  
换句话说就是 Fenz 认为“奇偶差异性魔方”=“ 4 陪集魔方”，那就大错特错了。
  
请 Fenz 仔细看看 10 楼中下面概念有区别吗？！它俩是同一概念的两个“名称”。
  
  
    如果一个魔方仅存在步长为偶数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。
  
我们称这种具有“奇偶差异性”的 魔方 为“奇偶差异性魔方”。
  
    如果魔方仅存在步长为 偶数 的循环变换，则称这个魔方为“ 二 陪集魔方”。
  
  
    我在 10 楼同时给出了“奇偶差异性魔方”、“ 2 陪集魔方”的同一概念的
  
两个“名称”，“名称”虽然不一样，但却是同一“概念”的两种叫法。我之所以把
  
“奇偶差异性魔方”与“ N 陪集魔方”放在一起，是为了让大家对比知道：
  
   一、“奇偶差异性魔方” = “ 2 陪集魔方”；
  
    二、“奇偶差异性魔方”就是“ N 陪集魔方”中的真子集“ 2 陪集魔方”；
  
    三、由“奇偶差异性魔方”自然拓展到“ N 陪集魔方”。
  
大家可以通过以上三句话理解“奇偶差异性魔方”、 “ 2 陪集魔方”、“ N 陪集魔方”
  
之间的关系。 不难理解 “奇偶差异性魔方”≠“ 4 陪集魔方”，因 “ 4 陪集魔方”、
  
“ 6 陪集魔方”、“ 2N 陪集魔方”都是“ 2 陪集魔方”=“奇偶差异性魔方”的子集。
  
   
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
作者: ggglgq    时间: 2013-11-26 16:37:10

　　
  
    为了让大家理解下面三句话：
  
  
    一、“奇偶差异性魔方” = “ 2 陪集魔方”；
  
    二、“奇偶差异性魔方”就是“ N 陪集魔方”中的真子集“ 2 陪集魔方”；
  
    三、由“奇偶差异性魔方”自然拓展到“ N 陪集魔方”。
  
  
    我把它们翻译成数学语言，让大家对比理解：
  
    一、“偶数” = “2 倍数”；
  
    二、“偶数”就是“N 倍数”中的真子集“2 倍数”；
  
    三、由“偶数”自然拓展到“N 倍数”。
  
    注：其中的“2 或 N 倍数” 是指 “能被 2 或 N 整除的整数”。


  
  
　　
　　
作者: Fenz    时间: 2014-9-14 23:23:13

ggglgq 发表于 2013-11-26 16:37
　　
  
    为了让大家理解下面三句话：

真是不好意思，忘记这个讨论好久了。

首先，‘ Fenz 认为“奇偶差异性魔方”=“ 4 陪集魔方” ’-----------没这回事。

对于“ 2 陪集魔方”“ 2 陪集魔方”是“ N 陪集魔方”中的真子集， “ 4 陪集魔方”、“ 6 陪集魔方”、“ 2N 陪集魔方”都是“ 2 陪集魔方”的子集，我当然是明白的，无需解释。

现在回过头看，争论点其实还是在概念定义：奇偶差异性魔方。
楼主是把奇偶差异性魔方和2陪集魔方视为同一概念。
我则认为奇偶差异性魔方是对于某个簇，可以单独做2循环的魔方。因为单个2循环产生奇偶差异。

三阶正六面体魔方能在其它10个棱不变的情况下单独换两个棱，是奇偶差异性魔方；三阶五魔则做不到，不是。

然而2陪集魔方中有一个例子，只能180度转动的三阶。虽然都是2循环，但2循环总是成对出现，并不会造成单个2循环，也没有奇偶差异。
作者: ggglgq    时间: 2014-9-16 11:02:06

　　
　　
  
    唉！
  　　
　　
　　
　　



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