由二元置换看魔方的奇偶性

noski

一、先看一个二维的例子

　　拼板大家都玩过吧，假设拼好的状态（A）是这个样子（□代表空位）：
　　１２３
　　４５６
　　７８□
　　那么下面的这个状态（B）是无论如何也原不回去的：
　　１２３
　　４５６
　　８７□
　　为什么呢？因为每移动一次，相当于一个块与空位做一个二元置换，而最后空位想要回到右下角的位置，只能经过偶数个二元置换。状态B相当于在状态A下，对8和7做了一个二元置换，这就改变了整个图的奇偶性，必然原不回去了。


二、对于三阶魔方

　　每转动一个面（这里仅考虑表层90度转动，中层的一次转动相当于表层的两次转动），相当于这一面上的四个角块做一个四元置换，同时这一面上的四个棱块做一个四元置换。pengw提过这样的问题，说为什么角块棱块可以独立的进行三元置换，而二元和四元置换就不行。当时我还尝试着把三元置换和四元置换联系起来，但太复杂，未看出个所以然。所以现在，我换一个思路，用二元置换来回答这一问题。

　　首先，我们先来看角块。角块可以独立的进行三元置换，而不会影响棱块，为什么？因为三元置换就是两个二元置换，是偶性的。四元置换呢？就是三个二元置换，是奇性的。

　　１２　　１３
　　３４　　４２

　　如上所示，对234做了三元置换，分解开来就是，先交换3和4，再交换3和2，两次二元置换。

　　１２　　３１
　　３４　　４２

　　这个是对1234做了四元置换，也就相当于转动了魔方的一个面，分解开来就是，交换1和3，交换1和4，交换1和2，三次二元置换。
　　这样我们就可以看出，单从角块来说，魔方的一个面转动90度，会改变角块位置的奇偶性。

　　再看棱块也是一样，一个面转动90度，也是一个四元置换，会改变棱位置的奇偶性。

　　这样角块簇和棱块簇，在魔方转动时，要么都是偶状态，要么都是奇状态。一奇一偶的状态是不会出现的。如果都是奇状态，那就是所谓的“扰动”状态。还可以看出，三置换公式步长是偶数，扰动状态的还原步数是奇数，翻色公式的步长都是偶数。。。

　　还有，若角块出现了一个单独的二元置换，说明角块簇处于奇状态，而根据上面的结论，棱块簇也必然处于奇状态，也应该有奇数个二元置换，不然，就是错装。。

　　另外，我上面说的是把N置换都折成了二元置换，再讨论奇偶性。大家可能会问，为什么偶性的就可能被还原，奇性的就不行？出发点是这样，比如只看角块，8个位置8个块，跟踪其中一个块，它只能移动偶数步才能回来出发点。棱块也是，所有块都是。所以，这种方法不是倒推，“独立的二元置换不可能出现”也只是一个结论。

[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-8 13:13 编辑 ]

乌木

<P>至于两个二置换分别发生在（比如）1、2之间和3、4之间，或者，分别做了偶数个“偶置换”，也不改变簇的奇偶性。对吧？</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>此外，不讲这样的“动态过程”及其效果，只看某个静态，则含有偶数个偶环者，该簇即属于非扰动态；含有奇数个偶环的为扰动态。对吧？</P>

noski

嗯  对呀。。乌木想的比我要多，更加全面了。。

乌木

“翻色公式的步长都是偶数”，指什么翻色公式呢？是否包括有时既翻角又翻棱且伴有调动块位置的OLL公式呢？OLL公式中有偶数步，也有奇数步。（180°算两步，转夹层90°也算两步。）

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-7 21:39 编辑 ]

noski

是pengw发的这个贴子，指不改变位置，各块原地翻色：<BR>
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6682
<BR>OLL公式长度的奇偶，完全由位置的奇偶决定的，和色向倒是没有关系。。

乌木

那么，是否用反证法：既然没有位置变化，当然只能是施加了偶数步动作（不管这些步骤是为了翻色也好，还是为了别的任何目的也罢，甚至哪怕这些步骤会有位置变化但是有偶数个偶置换。如果还发生了奇置换也一样说明曾做过偶数步动作），魔方的扰动情况无变化。对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-7 22:38 编辑 ]

noski

只要位置都正确，则魔方的扰动情况无变化。。这是对的，但这不是反证法吧

乌木

噢，大概是所谓“逆定理也真”的情况？（指“偶数步不改变扰动情况”成立，则其逆“不改变扰动情况的步数必偶”也成立。我猜想，不会证明。－－哈，冬兄就是要大家证明，所以我等于没答出。）

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-4-8 00:16 编辑 ]

smok

不改变扰动状态的所有公式都是奇数步（90度/步），包括偶元置换，棱角色向变换。中心块发生奇次90度转动改变扰动状态，发生偶次不改变换扰动状态。

smok

单簇充许二元置换，为什么三阶角簇不可以？分析方法将不仅仅是从置换的角度，还要从簇组合的角度。