小波浅谈空心魔方的数学原理

小波

最近看到了一些关于空心魔方的帖子，也有魔友在QQ交流中谈到了这个问题，主要的问题都是关于空心魔方无法复原的问题，对这个问题我很感兴趣。为此我做了一些思考。
主要的一些疑问是何为空心魔方的未复原状态？怎么才能复原空心魔方？是否也构成组装的错误？

我的结论是空心魔方没有组装错误！因为受到中心块簇的调制，中心块簇的不存在，或者说不能分辨，正是解放了魔方的组状态，使得空心魔方的角块和棱块簇一定可以有机会不通过重组而达到“复原”状态。（烟头大哥提醒了以后纠正一下：位置上不存在组装错误，色向上存在。）

首先声明本人没有空心魔方，但是我可以把实心魔方的中心盖去掉，在数学构造上就与空心魔方等效了。

我做了如下实验：
1、
我拆了中心盖，打乱魔方，试图“复原”。为什么“复原”要加上双引号呢？呵呵，我这里的复原我得说明一下，有个概念上的偏差，这个复原的意思是各面的颜色相同，呵呵，有人说有偏差吗？回答是有的，因为此时每面只有8个块，是否与当初的中心块对齐了？我们谁都不知道。
2、复原的结果是有剩下两个位移块（角块或棱块）需要对换！


3、我又打乱之后复原了一次，这次竟然复原了！

4、之后，我仍然没有安装中心块，但是我用贴纸在每个中心块上做了标记，白色中心用W表示，红色R、黄色Y、绿色G、蓝色B、橙色O，贴在了复原状态的没有中盖的相对应中心螺丝上。有人可能会问，你这样贴和贴颜色有区别吗？我说唯一的区别是视觉上的区别，因为接下来的事情我仍然要打乱魔方以后复原，但是我仍然不参照中心，因此为了不在视觉上产生动机，我用了代号来区别每个中心，你也可以用1到6数字来区别。



5、我打乱了，试图复原，注意，这个时候我仍然没有参照中心，尽管我已经用标签区别了中心。复原的结果是有两个块需要对换！这个时候实验终于达到了紧张的时刻，我查看了中心块的标签，白色面的中心是W，黄色面是Y，绿色面是O、橙色面是B、蓝色面是R、红色面是G！

答案揭晓了！4个中心块发生了错误！他们参与了一次4个中心块的轮换，我们都知道，在合法的状态变换中，是不存在一个簇内要求偶数个块轮换的。现在的情况是4个中心块要轮换、2个角块（或者棱块）要对换，这个状态合法吗？答：是合法的！那么我们再把标签撕掉呢？看起来合法吗？看起来不合法！正式大家津津乐道的“无法复原”状态！

我再做个解释，有人会问中心块是不能移动的，那我怎么说中心块要轮换或者对换呢。答：这里说的正确位置是相对周围的角块和棱块而言的，中心块相对周围的块需要换位，其实是周围的块的位置不正确。

6、之后我又试了一次，这次仍然有一对位移块（角块或棱块）需要对换，另外，中心块的状态是有3对需要对换，也就是说一共有4组对换，显然，也是合法状态。

7、然后我又试了几次，发现没有在颜色方向上的错误，这是不是可以这样解释：一旦定义了颜色方向的代号，计算各个簇的色向和，无论从哪个方向来看总是一样的，这是魔方的Identiy守恒性的表现。
本人有浅薄的盲拧能力，无乱从哪个视角计算色向和，总是不变的，那么计算偶环数呢？三阶魔方的状态变换定律说偶环数为奇数则为扰动簇，之后我发现总的偶环数为奇数是组装错误。也就是说，假使是一个实心魔方，处于某个混乱状态，我们不通过操作，仅仅通过观察和计算，就能判断这个魔方是否可以被复原，而且这种计算与我们从前面还是从后面观察魔方是没有任何关系的。但是放在空心魔方上非常奇怪，因为一个混乱的空心魔方，你能不通过操作，而仅仅通过直接计算，得出能否被复原吗？显然是不能的！讲到这里先让我脑子休息一下，自己有点晕了，呵呵……

好，行了，我继续了，我刚才在想这是为什么。因为空心魔方的复原其实是受中心块调制的，这个调制的过程是在复原过程中才能体现出来的，所以没办法一开始就认定是否能复原。

但是颜色的方向最后发现总是正确的，我这里说的正确是根据个人的初始定义的，也就是说从这个定义出发，在任何状态下计算魔方各簇的颜色方向和，是不变的！强吧！没错吧？

这样的话是否就可以得出结论：随机复原空心魔方的成功率是50%，只存在环的奇偶性的问题。
也就是每次不参照中心块，复原和不复原的机会是一半一半，再强调一下，这里的复原是参照每面的八个颜色而言的，不是参照中心块而言的。

这样的话引出下面一个问题就是如何成功复原空心魔方？
哈哈，我自己找了一个方法，自称为最烂的方法，但是是万能方法，不是说偶数个中心块轮换一次就扰动了一次吗？那我就转一下D或者u（一样的，汗），或者D’、u’都行的，记得转一下就行了，这样的话中间层的四个中心块不是轮换一次了吗？然后再参照底层重新来复原，记得，这个时候是从第二层开始复原的，复原下去你就发现最后能复原了。那么再来轮换一次呢？又不能复原了！（但是要保证参照的对象，比如我是剩下PLL不能完成，就是说要对换的位移块在顶层，因此我可以轮换中间四个中心块，保证可以从中间层开始做。）


讲到这里我想问题应该差不多了。

最后归纳一下几个结论：
1、
空心魔方在“外观”上不存在组装错误，即使你真的把它拆了重装，你也一定可以复原！（纠正：色向不一定，位置一定可以复原）
2、
空心魔方没有特别的复原方法，随机复原的前提下，成功率总是50%，或者说合法组状态的外观复原与非复原状态数五五开。与操作者的水平是无关的。
3、
最后可能剩两个唯一块要对换，能够通过一定的方法复原，需要中心块扰动的参与。为什么说是一定的方法，因为你如果重新打乱了再复原，那么成功率仍然是50%。至于到底用什么方法，那是后话了。
4、
空心魔方的主要价值在于观赏性（个人意见哦，不能说是结论，哈哈）

我是属于山寨版的，不敢擅闯理论区，也没具备专业的数学知识，只是参考了N阶变换定律之类的文章，如果前辈们感觉我哪里讲得不对，还望指正，谢谢！



小波 2009/2/9

[ 本帖最后由 小波 于 2009-2-9 21:26 编辑 ]

小波

占一下，待修改。
忘了说，图是自己画的，大家凑合着看吧~~~~

图中，中心块的字母我是用透明胶把字母贴在中心块上的，就是代表了中心块的走向。
增加了第三张图，大家可以看一下，第一张图我是没有做标签，其实是第三张图的状态，和第二张比较一下，一对棱块要对换，还是看一下第三张图和第二张图的中间四个中心块的标签，发生了一次四个中心的轮换，这正是本文要讲的关键。


额。。。。。烟头大哥提醒了，随意组装的空心魔方在色向上可能无法翻正，这点疏忽了，纠正一下！



我得再纠正一下：不同的复原方法最后可能出现不同的情况，比如用角先法和桥式解法，最后不会出现特殊情况，这是因为这两个体系的最后一步都是与中心块一起换位的，也就是说，最后一步的中心块位置，本身还没有正确，于是当棱块和角块都正确了以后，中心块必定构成基态簇，不会出现特殊情况。


[ 本帖最后由 小波 于 2009-5-6 12:08 编辑 ]

happyangel888

嗯.研究的不错.用了心思,UPUP...............
我的空心正在玩.也是这个问题.

加贝

关注了

R'cube

厉害。。。。支持下~~~

魔方世家008

支持一下了

liyonggogo2008

LZ是高手,可惜我没耐心看完这个!

splendidrex

以前我也想过这问题，后来方法和你一样，换个中心再来，就ok

时空

楼主的文章写的不错~~虽然我没看懂哈

PS To 4#：身为版主，请你自重，不要仅仅为了提高签名的曝光率而发这种对付人的帖子，花半小时时间细细品味一下楼主的文章，如果能看懂，就发表点自己的心得，看不懂，也可以发表点自己的疑问或者看法

如果你有心，请学习乌木前辈的百分之一

icedragon

好东西啊！
慢慢看 谢谢楼主！