棱块RU流三轮换公式原理浅析

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棱块RU流三轮换公式原理浅析

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       拙作《教你手算彳亍法角块378公式》已经对角块三轮换解法的编写方法进行了详细的说明。从公式的结构来看，角块三轮换公式只有换位子[A,B]=ABA’B’及以换位子为公式核心的共轭法公式[C:[A,B]]=CABA’B’C’（即setup到换位子），模式相对单一。但棱块三轮换公式结构则呈现多样性，除我们熟知的普通换位子以外，还有RU流公式、M流换位子、五轮换叠加等几种形式。

       本文将对棱块RU流三轮换公式的原理进行简单的分析，目的是使读者能够判断哪些情况可以使用RU流公式，并能编写出相应的公式。

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       顾名思义，RU流公式是指通过交替转动三阶魔方的两个相邻面（例如R和U）完成三轮换的公式。我们举一个经典的例子：

UF-UL-DR   URUR’U’R’U’R’UR

       这是一个非常实用且典型的棱块RU流三轮换公式。我们来分析一下这个公式有哪些特点。

       事实上，这个三轮换涉及相邻两个面（R与U）上的三个块。且三个块是同色向的。

       【注：这里我们引入关于两个旋转面的“色向”的概念。我们把R和U两个旋转面上的全部7个棱块的14个面中，能通过R面或U面的旋转到达UR位置的记为“0”色向，能通过R面或U面的旋转到达RU位置的记为“1”色向。很显然，R与U旋转的组合是不能改变棱块关于R、U这两个旋转面的“色向”的。这样就把R和U旋转面涉及的棱块面分成了0和1两种色向。
       为了便于读者理解，我们把“0”色向的面标记为黄色，“1”色向的面标记为红色，如图所示。

图    R、U面棱块色向

       注意，这里的“色向”是关于两个给定的旋转面来谈的，与四步法的“色向”概念有很大区别，请不要混淆。】

       在UF-UL-DR这个三轮换中，三个块UF、UL、DR是同色向的。（UF、UL、DR均为“0”色向，FU、LU、RD均为“1”色向。）

       棱块三轮换涉及的三个块位于相邻的两个旋转面上，且三个块关于这两个旋转面色向相同，这是棱块三轮换能直接用RU流公式来解的一个必要条件。

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       再看公式具体步骤的特点。

UF-UL-DR   URUR’U’R’U’R’UR

       这个公式中，U面和R面的旋转是交替出现的，且有的是逆时针，有的是顺时针。每一步的旋转方向满足什么规律呢？我们分段来看。

UF-UL-DR  (URU)(R’U’R’U’R’)(UR)

       上面用括号把公式分成了三段。第一段中，U和R交替顺时针旋转；第二段中，交替逆时针旋转；第三段又变回交替顺时针旋转。

       实际上，R和U交替旋转的模式是为了保证公式不对角块的位置产生影响。而整个公式的模式，可以用一个“8”字形的模型来解释。

图    RU流图解

       在公式UF-UL-DR  (URU)(R’U’R’U’R’)(UR) 中，DR相当于图解中的“A”，UF、UL分别相当于图解中的“B”和“C”。

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       我们按照上面的“RU流图解”，把RU流公式的基本模式叙述一遍。

       棱块三轮换涉及的三个块位于相邻的两个旋转面上，且三个块关于这两个旋转面色向相同。

       R、U两个面中，必有一个面至少涉及三轮换中相邻的两个棱块，把处在另一面的，三轮换的另一块记为“A”，然后按三轮换的轮换方向，把相邻的那两个棱块分别记为“B”和“C”（A的目的地记为B，B的目的地记为C）。（也有B、C相对的情况，例如UF-UB-FR，那是另一种模式的RU流三轮换，请读者自行分析。）

       在公式中，U面和R面的旋转交替出现，且公式按旋转的方向分为三个阶段。

第一阶段：
       先确定旋转方向。记住：B、C所在的旋转面，B应朝C的方向转；A所在的旋转面，与B、C所在的旋转面旋转方向相同（同为顺时针或同为逆时针）。
       再确定哪一面先转。看A和C转到RU两面的公共棱所需步数分别是多少（此处1/4周记为一步）。若A转到RU两面的公共棱比C转到公共棱多一步，则A所在面先转；若A和C到公共棱的步数相等，则C所在面先转。
       按上面确定的旋转方向和首先旋转的面，交替旋转RU两面，直到C到达公共棱位置。

第二阶段：
       C到达公共棱位置后，在保证RU两面交替旋转的情况下，两面均调转旋转方向，交替旋转RU两面，直到A到达公共棱位置。

第三阶段：
       A到达公共棱位置后，在保证RU两面交替旋转的情况下，两面均调转旋转方向，交替旋转RU两面，直到完成三轮换。

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例1  UF-UL-DR

       我们仍以公式 (URU)(R’U’R’U’R’)(UR) 作为例子，说明公式流程。

       棱块三轮换UF-UL-DR涉及的三个块位于RU两个面上，且UF、UL、DR这三个块关于RU两面色向相同。其中，DR整块在R面上，UF、UL两块在U面上。所以DR相当于图解中的“A”。DR的块的目的地为UF，所以UF的块相当于图解中的“B”。UF的块的目的地为UL，所以UL的块相当于图解中的“C”。

第一阶段：
       先确定旋转方向。B、C所在的旋转面，B应朝C的方向转，即UF朝UL的方向转，即U面顺时针转。R面与U面同为顺时针转。
       再确定哪一面先转。看A和C转到RU两面的公共棱所需步数分别是多少（1/4周记为一步）。此处RU两面的公共棱为UR。C（即UL）转到UR需要两步U，A（即DR）转到UR需要两步R，也就是说，A和C到公共棱的步数相等，故C所在面（即U面）先转。
       按上面确定的旋转方向（顺时针）和首先旋转的面（U面），交替旋转RU两面。做URU，此时C已到达公共棱位置UR。第一阶段结束。

第二阶段：
       在保证RU两面交替旋转的情况下，调转旋转方向（改为逆时针），交替旋转RU两面。做R’U’R’U’R’，此时A已到达公共棱位置UR。第二阶段结束。

第三阶段：
       RU两面再调转旋转方向（改为顺时针），交替旋转RU两面，即做UR，三轮换完成。

       把三个阶段做的步骤连起来，得到公式

UF-UL-DR   URUR’U’R’U’R’UR。

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例2  UF-UL-BR

       此型可以用R一步setup成例1来解，也可以按照RU流公式的基本模式理解为：公式的第一阶段中，UL转到UR需要两步U，BR转到UR需要三步R，所以公式起手要先转动R面。

第一阶段：
       做RURU，此时C（UL棱）已到达公共棱位置UR。第一阶段结束。

第二阶段：
       做R’U’R’U’R’，此时原BR棱已到达公共棱位置UR。第二阶段结束。

第三阶段：
       做U，三轮换完成。

       所以UF-UL-BR三轮换的公式为RURUR’U’R’U’R’U。

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例3  UF-UL-UR

       这是最常用的一个同层三轮换，可以把UR看作图解中的“A”，UF和UL分别看作图解中的“B”和“C”。由于C位置（UL）只需要两步U就能转到UR，而A位置（UR）需要转一圈（四步R）才能回到UR，所以可以先用一步R（或R2）把它setup成前两个例子中的任意一个，再用RU流的原理来解。得到的公式为

UF-UL-UR   R2URUR’U’R’U’R’UR’。

习题：
       分别用换位子、RU流这两种原理编写UF-UL-RF三轮换的解法。（可暂不考虑顺手程度。）

       请读者自行解答习题，文末会给出参考答案。

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换位子（commutator）原理与RU流原理模型的比较

       我们已经知道，RU流原理可以用“8”字形模型来解释。而我们最熟悉的换位子原理可以用“十”字形模型来解释。如图所示。请读者仔细体会二者的区别。

图    换位子原理图解

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习题参考答案

题目：
       分别用换位子、RU流这两种原理编写UF-UL-RF三轮换的解法。

解：

(1) 换位子

       UF可以通过一步F到达RF，UL可以通过RSR’到达RF，且这两个步骤只共同影响了唯一一个块（即棱RF），符合普通换位子公式构造原理。故根据换位子[A,B]=ABA’B’的形式，可得UF-UL-RF的换位子解法

[RSR’, F] = RSR’FRS’R’F’。

(2) RU流

       RU流原理要求棱块三轮换涉及的三个块位于相邻的两个旋转面上，且三个编码关于这两个旋转面色向相同。

       R、U这两个面是否符合这一条件？显然UF与UL两个块是同一色向，但RF块能通过R转动到达RU位置，无法到达UR位置，所以RF与UF色向相反。故R与U这两个面不能作为用RU流原理编写该公式的旋转面。

       但是我们注意到，如果取U和F两个面作为旋转面，那么UF、UL、RF三块的色向就是一致的了（UL可通过U’旋转到达UF，RF可通过F’旋转到达UF，故这三块关于U和F两个旋转面色向相同），所以正确的旋转面应为U和F。

       F、U两个面均涉及上述三轮换中相邻的两个棱块。我们可以把RF块记为“A”，按三轮换的轮换方向，把UF、UL分别记为“B”和“C”（A的目的地记为B，B的目的地记为C）。或把UL块记为“A”，按轮换方向，把RF、UF分别记为“B”和“C”。两种方案都是可以的。

       我们这里把RF块记为“A”，把UF、UL分别记为“B”和“C”。

       在公式中，U面和F面的旋转应交替出现，且公式按旋转的方向分为三个阶段。

第一阶段：
       先确定旋转方向。B、C所在的U面，B应朝C的方向转，即UF朝UL的方向转，也就是U面顺时针转。A所在的F面，与U面旋转方向应相同（同为顺时针）。

       再确定哪一面先转。看A和C转到U、F两面的公共棱（即UF棱）所需步数分别是多少（此处1/4周记为一步）。RF棱需要三步F转到UF，UL棱也需要三步U才能转到UF，即A和C到公共棱的步数相等，故C所在面（U面）先转。

       按上面确定的旋转方向（顺时针）和首先旋转的面（U面），交替旋转U、F两面，直到C（UL）到达公共棱（UF）位置。所需旋转为UFUFU。

第二阶段：
       C到达公共棱位置后，在保证FU两面交替旋转的情况下，两面均调转旋转方向，交替旋转FU两面，直到A到达公共棱位置。所需旋转为F’U’F’U’F’。

第三阶段：
       A到达公共棱位置后，在保证FU两面交替旋转的情况下，两面均调转旋转方向，交替旋转FU两面，直到完成三轮换。在这个三轮换中，由于A（RF）的目标位置就是公共棱位置（UF），此步骤恰好省略。

       所以我们编出的RU流公式为UFUFUF’U’F’U’F’。习题解答完毕。

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       相信读者能够灵活运用棱块RU流三轮换公式原理编写出更多更好的公式。
       欢迎各位魔友批评指正。谢谢。

                                                                 123wyx
                                                           2017年1月19日

（完）