七个7的问题

Joseph

在下面除法例题中，被除数被除数除尽： **7** __________ ****7*|**7******* /****** __________ *****7* ******* __________ *7**** *7**** __________ ******* ****7** __________ ****** ****** __________ 0

用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是什么数字呢？

老猫

以下是引用Joseph在5/10/2004 9:01:30 AM的发言：

...... 数字 偶然 被擦掉了......

呵呵，明显是“故意”擦掉的，大家说说思路吧。。

zhjiemm

有点难度,

　　　　　　　　　　　　5 8 7 8 1 　　　　　　--------------------- 1 2 5 4 7 3 ) 8 3 7 5 4 2 8 4 1 3 　　　　　　　7 2 7 3 6 5 　　　　　　　----------- 　　　　　　　1 1 0 1 7 7 8 　　　　　　　1 0 0 3 7 8 4 　　　　　　　------------- 　　　　　　　　　9 7 9 9 4 4 　　　　　　　　　8 7 8 3 1 1 　　　　　　　　　----------- 　　　　　　　　　1 0 1 6 3 3 1 　　　　　　　　　1 0 0 3 7 8 4 　　　　　　　　　------------- 　　　　　　　　　　　1 2 5 4 7 3 　　　　　　　　　　　1 2 5 4 7 3 　　　　　　　　　　　----------- 　　　　　　　　　　　　　　　　0

用计算机可以用穷举法解得.

[此贴子已经被作者于5/10/2004 8:50:51 AM编辑过]

Joseph

我们用不同的字母标每个空缺数字，从而本题取如下形式：
            κλ7μν
       __________
αβγδ7ε|AB7CDELQWz
      /abΔcde
       __________
       FGHIK7L  第三行
       fghikΞl  第四行
       __________
         M7NOPQ  第五行
         m7nopq  ←7δ
       __________
         RSTUΣVW 第七行
         rstu7vw
       __________
           XYZxyz 第九行
           XYZxyz
       __________
                0
I．除数※的第一位数字α必须是1，因为如题中第六行所示，7δ只有六位数字，否则，如果α等于2，7δ就有七位数字。
由于第三行和第七行的余数都是六位数，F必定等于1，R也必定等于1，因此，f和r也必定等于1（根据题意）。
由于δ不能超过19979，μ的最大值是9，才能使第八行的积不超过1799811，而且s<8。又因S只能是9或0，而且第九行在s下面的位置没有余数，所以，只有第二种情况才是可能的。因此，S=0，而且（由于R=1）s也等于0。由于R=1，S=0，随之而使
M=m+1，
这样，m≤8，第六行乘积7δ不可能大于87nopq。

Joseph

II．因此，除数的第二位数字β只能是0，1或2（7×130000已大于900000）。因为甚至9乘以109979也不能得到第八行所要求的七位数，所以，β=0的可能性排除了。
然后，考虑β=1的情况。这要求γ只能等于0或1（如果γ≥2，在确定第六行第二位数字时，必定会产生一种情况，即7β=7×1=7，还要加上来自7γ乘积的一个大于或等于1的数，而第二位必须是7）。
然而，γ=0是不可能的，因为第八行是七位数，即使9×110979也不能得到一个七位数。
在γ=1时，必须注意到以下的情况：一望第八行，便可看出δ、ε和μ的选择必须能使μ•111δ7ε是个七位数，其最后第三位数是7。只有乘数μ = 9才能达到这一目的（因为即使8×110979也只有六位数）。通过试验很容易看出，仅当δ=0或δ=9时，9•111δ7ε的最后第三位数才是7，在第一种情况下，即使111079与9相乘，第八行也不是七位数，在第二种情况下，第六行是
7×11197*=787***，
这是不可能的，这样γ=1也要排除。因此，必须放弃β等于1的可能性。
所以，除数第二位数字的唯一适当的值是β=2。由此得m=8，且M=9。

[此贴子已经被作者于5/18/2004 11:05:30 PM编辑过]

Joseph

III．因为7×126000大于第六行的数，而7×124000又小于第六行的数，除数的第三位数γ只可能是4或5。再者，由于9×124000大于7×126000又小于第八行的数（10tu7vw），于是μ必定等于8。
因为8×124979=999382<1000000，γ=4这一假设不能满足第八行的要求，因此γ只能等于5。

Joseph

IV．由于8•125δ7ε的最后第三位数必须是7，通过试验发现δ等于4或9。因为即使7×1257970=881790也大于第六行的数，所以δ=9应被排除，而只有δ=4适合。因此ε被认为是从0到4中的一个数。然而，不论选用哪一个，从
7•12547ε=878***
中便求出第六行第三位数n=8。同样，第八行得到
8•12547ε=10037**，
进而得到t=0，u=3。
由于λδ=λ•12547ε在第四行中是一个七位数，而只有8δ和9δ才是七位数，所以λ是8或者9。

Joseph

V．从t=0和X≥1（以及R=r=1，S=s=0），得T≥1；又从n=8，N≤9，得T≤1，于是T=1。所以，N=9，而X=1。由于X=1，且2δ>200000（第九行），从而v=1，Y=2，Z=5，x=4，y=7，z=ε。至此从以上求得的结果，算式为：
           κλ781
       __________
12547ε|AB7CDELQWε
      /abΔcde
       __________
       1GHIK7L
       1ghikΞl
       __________
         979OPQ
         878opq
       __________
         101UΣVW
         10037vw
       __________
           12547ε
           12547ε
       __________
                0

Joseph

VI．在这种情况下，ε是五个数字0，1，2，3，4中的一个。这五种情况与下列数列相对应：
vw=60，68，76，84，92，
cpq= 290，297，304，311，318。
并且，根据λ等于8或9，可得：
Ξl=60，68，76，84，92，
或
Ξl=30，39，48，57，66。
这便有十种不同的可能性。若自上而下进行三次递加的方法对这十种可能性逐一检验，首先从第九行和第八行相加得第七行；然后第七、第六行相加得第五行；最后第五、第四行相加得第三行，便发现只有当ε=3和λ=8时，才能使第三行最后第二位得到所要求的数字7。这种情况下，vw=84，UΣVW=6331，cpq=311，OPQ=944，ghikΞl=003784，GHIK7L=101778，这便使本题算式如下：
           κ8781
       __________
125473|AB7CDE8413
      /abΔcde
       __________
       1101778
       1003784
       __________
         979944
         878311
       __________
         1016331
         1003784
       __________
           125473
           125473
       __________
                0

[此贴子已经被作者于5/18/2004 11:13:34 PM编辑过]

Joseph

VII．最后，由于在※的所有倍数中，只有5δ=627365加到第三行的最后的余数1110177之上，才能得到第三位是7的一个数。这就得到κ=5，同时也得到abcΔcde=627365及AB7CDE=737542。这样就得到了该题所有空缺待求的数字。