[原创]试论“奇偶性”

pengw

忍冬

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在对魔方性质的表达中，经常可以看到大量关于“奇偶性”的描述，无论是二个状态的最短路径，阶数，状态描述，还是公式表达，这个所谓的奇偶性跟一些神乎其神的理论一样似乎是一种包治百病/唐塞质疑/徒显水平的“巫士膏药”，常常可以看到莫名其妙的贴子宣称“所谓扰动，所谓循环，所谓。。。完全是对偶奇性理论的发扬与光大，不信请看链接。。。”，看了半天无人能理解，最后结论竞然是“你水平太低，怪谁？”，到底何为奇偶性？，下面就试着分析这个所谓的奇偶性。

阶数奇偶性

奇阶魔方/偶阶魔方，这种阶数意义下的奇偶性我想没有人不明白，所以就不多说了

状态奇偶性

1. 簇内变换

中心块色向变换：以180度为单位变换，看不出“奇偶性”的意义

中棱块色向变换：中棱块数是12，任何状态的色向和为零，也看不出“奇偶性”的意义

边角块色向变换：边角块数是8，任何状态的色向和为零，也看不出“奇偶性”的意义

移动块位移变换：中心块簇以外的任何簇，三交换是通用变换，簇内的任何奇环或偶环都是经三交换变换而来，看不出“奇偶性”在此存在的意义

2. 簇间变换

扰动关系数：n>=1,2n及2n+1阶魔方的扰动关系数为2的n次方，也看不出“奇偶性”的意义

中心块扰动：经由中心块色向变换分解后，有唯一个中心块转了90度，不过，这个中心块是正/负90度转动都算扰动，也看不出“奇偶性”的意义。

移动块扰动：经三交换分解后，有唯一的二个块交换了位置，也看不出“奇偶性”的意义

公式奇偶性

公式是实现二个状态转换的步骤，在此以90度为一个基本转动单位，我们已经知道，丢开状态来论公式步数的“奇偶性”没有任何意义。

转动方向：一个公式中，正/负90度转动的次数，从扰动关系的角度，这种“奇偶性”没有任何意义，从其它方面，没有见任何证实有意义的表达。

公式循环：即有偶次循环又有奇次循环，完全由状态决定而与公式没有任何应关系

公式步数：魔方始态与终态系确定的情况下，公式步数的“奇偶性”即被完全确定，即始/未状态唯一决定公式步数的“奇偶性”，与公式没有任关系，参见“基于N阶定律的公式步长奇偶定理“

最短步数：任意二个状态之间必有最短步数，但这个最短步数的奇偶性由始/未状态唯一确定，与公式完全无关，参见“基于N阶定律的公式步长奇偶定理“。

奇偶性结论

从上面的讨论中，不难看出，“奇偶性”仅在公式步数奇偶性讨论中存在意义，而从“基于N阶定律的公式步长奇偶定理“这篇论文中，不难看出，这种“奇偶性”问题是如此地简单和纯朴，实在看出有什么神密的必要，除非是为了骗人，所以提醒一下，“奇偶性”并不能包遮百丑，实事求是地提供证明事例才是获得认可的唯一方法。

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忍冬

2006年5月25日

[此贴子已经被作者于2006-5-31 9:02:53编辑过]

jinyou

我理解的奇偶性是指当前状态到复原状态两块互相交换的总次数（类似于数列的排序），交换的次数是个大于等于零的整数，所以有奇偶性。引申后也指中心块色向变换的和。所以奇偶性是应用在魔方的某一组（簇）当前的状态的。

公式的奇偶性。我想指一个公式运行完没有改变原来的魔方某组的奇偶性，所以对这组是偶态的。当然对所有组都没有改变奇偶性，所以对整个魔方是偶态的。如F2。

[此贴子已经被作者于2006-5-25 9:36:04编辑过]

pengw

以下是引用jinyou在2006-5-25 9:28:28的发言：
我理解的奇偶性是指两块互相交换的次数，交换的次数是个大于等于零的整数，所以有奇偶性。引申后也指中心块色向变换的和。所以奇偶性是应用在魔方的某一组（簇）当前的状态的。

金优先生你好，我不太明白，你为什么要关心交换次数？有什么现实意义？移动块的状态完全可以视为三交换的复合。另外，中心块色向跟其它块的色向不同，是会受到扰动的。请申明一下，你的奇偶性立场是指状态描述还是公式表达？跟我表达的公式步数奇偶性有什么区别？恕我直言，你对你的概念的表达是非常模糊的，你是搞数学的，能不能将概念表达得更精准一点？

你同意以下观点否：

1.公式步数奇偶性是由初始状态与终止状态决定

2.循环法则决定公式使用次数

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以上二点在理论区都有准确描述。

[此贴子已经被作者于2006-5-25 10:00:38编辑过]

smok

在研究公式循环法则时，有一个认识，用公式去看状态是相当不可靠的，理由很简单，公式跟状态并不一一对应，一个状态可以对应数不清的公式，从N阶定律的公式无关性可知，恰恰是状态定律来告诉人们，公式只能达到什么样的目的，所以任何从公式角度的研究都要谨慎小心。金优关于二个块交换次数的分析，其实根本不用公式，看一看状态就明白了。

[此贴子已经被作者于2006-5-25 10:42:50编辑过]

jinyou

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=18&ID=1680&replyID=18064&skin=1
关心交换次数才能知道任意装配的魔方是否能复原（合法）。
两角块互换，同时两边块互换，这种现象用三交换不好解释。三交换好象是同组的吧。
魔方的奇偶性立场是指状态描述。
同意这两点。
1.公式步数奇偶性是由初始状态与终止状态决定
2.循环法则决定公式使用次数
一个状态可以对应数不清的公式，但是这些公式一定有共同的奇偶性。公式同时也是描述状态的一种好方法。我想我们研究魔方的规律就是为了找到更好的公式。

pengw

以下是引用jinyou在2006-5-25 12:42:03的发言：

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=18&ID=1680&replyID=18064&skin=1
关心交换次数才能知道任意装配的魔方是否能复原（合法）。
两角块互换，同时两边块互换，这种现象用三交换不好解释。三交换好象是同组的吧。
魔方的奇偶性立场是指状态描述。
同意这两点。
1.公式步数奇偶性是由初始状态与终止状态决定
2.循环法则决定公式使用次数
一个状态可以对应数不清的公式，但是这些公式一定有共同的奇偶性。公式同时也是描述状态的一种好方法。我想我们研究魔方的规律就是为了找到更好的公式。

不管是那一阶，如果它的状态与它簇内/簇间约束不相付（如何判断，看N阶定律），即可判断为组装错误，就这么简单。玩组装游戏的本质就是玩着色，我就这么理解，不值得在这方面浪费时间。

你说“一个状态可以对应数不清的公式，但是这些公式一定有共同的奇偶性。”，这一点上，你就大错特错了，请看http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=1744&page=1。

金生啊，你不要急，慢慢分析，这样效果要好一点。

smok

以下是引用jinyou在2006-5-25 12:42:03的发言：

两角块互换，同时两边块互换，这种现象用三交换不好解释。三交换好象是同组的吧。

金优先生，你是不是晕哦？，怎么又将N阶定律的簇内变换与簇间变换混为一谈？三阶中存在独立的二角互换同时两边块互换吗？你把参与这种变换的一个中心块弄到哪去了？

二阶：边角块就可以独立对换

三阶：中棱块，边角块同时对换，条件是一个中心块转90度

四阶：边棱块就可以独立对换，边角块与心棱块必需同时对换

五阶：中心块，直棱块，中棱块，心棱块，边角块可以同时对换；中心块，边棱块，中棱块，心棱块，边角块可以同时对换；边棱块，真棱块可以同时对换

从上面这些事例中，可以看出：

二阶：没有偶性对换

三阶：由于中心块的介入，即没有偶性对换也没有奇性对换

四，五阶：即有奇性对换又有偶性对换

从以上分析中，请问金先生，你的对换奇偶性如何描述或定义？

看你以前写的文章，感觉对N阶定律理解的还不错，然而你上面的说法根本上就是错误的，所谓的奇偶性根本不足以表达簇间变换，希望对相关问题的评判更具有版主的冷静，对魔方问题的理解更为简洁而不被一些莫名其妙/解决不了任何问题的理论误导入岐途，即便是要展示个性，也要以尊重常识为前提，直言相告，还请谅解。

[此贴子已经被作者于2006-5-26 7:21:15编辑过]

jinyou

我根本没有理解N阶定律，我不明白在实际操作中如何使用一大堆符号。看了N阶定律当然晕。

所以我想乘现在的机会请两位为我解释一下。

“3.奇偶定理

任选二种状态，设：

X=状态1扰动关系中，边棱块扰动簇数与边角块扰动簇之和

Y=状态2扰动关系中，边棱块扰动簇数与边角块扰动簇之和”

我不明白边棱块扰动簇数是什么，边角块扰动簇是什么。请举实例说明。扰动簇数是根据公式计算的还是根据当前状态计算的。

smok:

我认为的奇偶性是应用在魔方的某一组（簇）当前的状态的。所以根本不表达簇间变换。但是合法的魔方内各组的奇偶性存在必然的联系。

三阶中存在二角互换同时两边块互换，并且有一个中心块转90度。那又怎么用三交换解释？

我的奇偶性如何描述或定义，我想不用重复了，你有什么看不懂的请问吧。还有你认为我被什么问题误导入岐途，没有尊重哪些常识。

乌木

7楼smok兄说“……三阶：中棱块，边角块同时对换，条件是一个中心块转90度……”
我的理解是，您这是讨论本话题时这样说的，对吗？不排除还有别的情况，比如彳亍兄贴出的如下情况：
（“别的情况”指下面的A图）
  

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-6-10 21:34 编辑 ]

jinyou

五阶扰动关系如下:
L1= F1+B1
St= C1+F1+H+M+A
L1+St= C1+B1+H+M+A 能写成中文吗，字母看不懂。

如果改成：

1个扰动错误：C1，B1，H，M，A，F1 共6个

2个扰动错误：5取2的组合数减去一个合法组合(F1+B1) 共9个

3个或3个以上扰动错误:可由扰动方程简化为二个或一个扰动错误

就是15。

所以我认为五阶比三阶多的小块中还需要选一组为基准。