最小循环周期为总状态数的魔方

ggglgq

今天在 ★ 理论篇 ★ 看到 pan528 先生的 《这些问题能用魔方理论表述吗？》 ，
使我联想到这个有趣的数学问题。





一、定理：若某一魔方（各类魔方）的总状态数为 M ，则该魔方的任一 (变换 A) 的
最小循环周期 不大于 M 。

证明： 设该魔方 (变换 A) 的 最小循环周期 为 n ，则

(变换 A)、(变换 A)2、(变换 A)3、......、(变换 A)n 为该魔方的 n 个不同状态！

由于该魔方的总状态数为 M ，

故 n ≤ M 。 定理得证。



注：(变换 A) 为步长为 1 的变换 或 它们的任意组合变换。



二、最小循环周期为总状态数的魔方。

有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期 都为 M 。

很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期 都是 最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？ 有多少这样的魔方呢？

请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:10 编辑 ]

noski

<>

原帖由 ggglgq 于 2008-1-12 11:49 发表

<> 二、最小循环周期为总状态数的魔方。
有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期 都为 M 。
很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期 都是 最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？ 有多少这样的魔方呢？
请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！...

1. 首先我想，莫非是这些状态排成一个环形，怎么走都要绕一圈，遍历所有状态才能回到起点。
比如假设M＝6，那么我能找到一个“一步”的公式，做六次，遍历这6个状态，回到起点。这样“一步”公式的循环周期为6。
2. 可是这时，把两个“一步”公式看作一个“两步”公式，那这个公式只要循环三次就回到起点了，又不满足条件。
3. 进一步想，假如这状态是一个欧拉图，就是可遍历的（可一笔画出来），那么，把这一次遍历所有状态的操作看成一个公式，它的循环次数就是1了吧？上面又全部**了。。
4. 再假如它的状态不是一个欧拉图，那就是一笔不可遍历的，除非经过重复的状态（参考七桥问题），那么，必能找到小于M个状态构成一个环，周期也应该小于M吧。

矛盾。。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:13 编辑 ]

乌木

第一个问题是不是可以用一句话证明：局部小于等于整体。

乌木

第二题是否一个无转层的刚体(如色子、钢珠、沙子等等），总状态数为1，变化为0。“不表态也是一种表态”，所以，其……周期为1。

ggglgq

呵呵，noski 先生对“循环变换球面网”理解的不透呀。记得当初 noski 先生曾把
魔方态态网 放到 正六面体 中考虑，正六面体 表面 边、角、面中心 的性质均不一样，
所以 魔方态态网 不是 正六面体 构造；同样 魔方态态网 也不是其他 正多面体 构造，
对于空间对称体魔方来说，该魔方态态网 只能构成 “球面网”。 因为“球面”没有
所谓表面的 边、角、面中心，因此只有“球面”才能保证“态态”平等！

注：这里的 球面网 是指 高维空间的球面网 ，不是通常 三维空间的球面网！

因此 noski 先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“复杂化”了。







乌木 先生一直在致力于“循环变换球面网”的研究，应该说体会颇深，发表了很多
魔方态态网 的研究成果，本人每贴必看。在此感谢 乌木 先生为魔方吧论坛所做的工作！

因此 乌木 先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“太简单化”了。







总之，“最小循环周期为总状态数的魔方”的问题，没那么“复杂”，也没那么“简单”！
呵呵，请大家再认真考虑一下吧！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:13 编辑 ]

ggglgq

有兴趣的魔友可以参考 “遍历魔方的所有状态” 38 、39 楼，那里的问题较复杂，但
“最小循环周期为总状态数的魔方”很简单，因为“每一变换” 都可以“周游魔方所有状态”，
可谓是“闭上眼睛周游世界”，真惬意！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:15 编辑 ]

noski

要说三维空间的球面网，我自始至终都认为它是错的。至于高维的球面网，又难以直观的理解。可是在三维中出现矛盾，就归到高维去，这个推理的正确性也有待研究吧。<BR>不过要说到状态网，我的思路是它有点类似晶体中的晶格，也许看看金刚石的结构就知道我所想的了，当然金刚石和魔方是有很大不同的。金刚石结构中的碳原子，也是态态平等的，但不是球面。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-1-17 11:19 编辑 ]

ggglgq

引用: 原帖由 noski 于 2008-1-17 11:14 发表
不过要说到状态网，我的思路是它有点类似晶体中的晶格，也许看看金刚石的结构就知道我所想的了，当然金刚石和魔方是有很大不同的。金刚石结构中的碳原子，也是态态平等的，但不是球面。



呵呵，noski 先生理解的不对呀！

固然，金刚石内部结构中的碳原子是态态平等的，但对于最外层（表面）的“态”，就不平等！
金刚石表面 边、角、面中心 的性质互不一样，与 内部（不是中心）、中心状态 更不一样。

请 noski 先生注意：对于空间对称体魔方来说，该 魔方态态网 要保证“每个态都平等”！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:16 编辑 ]

noski

我当然知道每个态都要平等。。。当这个金刚石结构遍布整个空间时，就没有所谓的边缘了，这一点也许能用一个自封闭的空间来实现。好比拿出金刚石的一个晶格，碳原子有的在角上，有的在边上，有的在中间，但把这个晶格放到晶体中，则根据晶格的划分不同，每个原子都可以同时处在角、边、或中间，这就是等价的。

也可以想像一个大立方体，把上下、左右、前后分别通过空间扭曲连接起来，这样，从立方体内部来看，循环了吧。。

关于状态网很多我都只是想想而已，是对是错两说。。真正的理论要能拿来解决实际问题，不然就只是空中楼阁了。。

ggglgq

原帖由 noski 于 2008-1-17 12:20 发表
把上下、左右、前后分别通过空间扭曲连接起来，这样，从立方体内部来看，循环了吧。。

呵呵，魔方态态网 要保证 有限个状态 中 “每个态都平等”，必然循环！

循环就是“圈”，“圈”在高维空间就是“球面”呀！ noski 先生 理解了嘛？！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:17 编辑 ]