关于魔方两状态能否相互转化的判断条件

lulijie

把一个普通的3阶魔方拆解后随意重新组装，得到一个魔方状态X，同样方法得到另一个魔方状态Y，判断这两个状态能否通过转动相互转化，有以下判断方法。
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基本知识：
我们用角块的位置序列，棱块的位置序列，角块的方向值，棱块的方向值来确定魔方的一个状态。
                        具体规定参见：
                        图解三阶盲拧(盲拧入门级教程)
                       http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=493&;extra=page%3D1
根据角块的位置排列序列（8位数的序列），得到它的逆序数   N角
根据棱块的位置排列序列（12位数的序列），得到它的逆序数   N棱
N总=N角+N棱
                        关于序列的逆序数的规定参照以下帖子
                         各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质
                        http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7532
所有角块的方向值相加得到     F角
所有棱块的方向值相加得到     F棱
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那么状态X和Y能相互转化的充要条件是（同时满足以下三个条件）：              mod  2  表示除以2的余数。
1.    N总（X） mod  2   =  N总（Y） mod  2
2.    F角（X） mod  3   =   F角（Y） mod  3   
3.    F棱（X） mod  2  =   F棱（Y） mod  2   
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若X是魔方的复原态（初始态）：即判断一个随机组装的魔方能否复原。
那么条件就是如下：
1.    N总为偶数
2.    F角是3的倍数
3.    F棱是偶数
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上述判断方法是否正确，若正确，如何给予数学上的严格证明。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-16 13:35 编辑 ]

why1994boy

好帖子怎么没人顶呢？帮LZ顶一下

Atato

用邱志红斑竹的色向定理就可以证明了.
这个问题是判断一个魔方随即组装能否还原的另一种表述.

[ 本帖最后由 Atato 于 2009-2-16 13:19 编辑 ]

kexin_xiao

太深奥，学习

juventus66

同样来学习的,不明白

conwood

直觉看是正确的。

至于如何证明，也许需要用群论。

原帖由 lulijie 于 2009-2-16 13:04 发表
把一个普通的3阶魔方拆解后随意重新组装，得到一个魔方状态X，同样方法得到另一个魔方状态Y，判断这两个状态能否通过转动相互转化，有以下判断方法。
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R'cube

LZ可真是块研究数学啊

乌木

数学证明我不会。
关于错装态，比如，角块簇有色向错装的话，错态可以在簇内转移，不能在簇间转移；棱块簇的色向错装态也是这样。再如，角块簇有位置错态的话，不但在簇内可转移，还可转移到棱块簇；棱块簇的位置错态也是这样。至于角块簇和棱块簇同时有位置错态的话，倒又是可复原的了。
不知1楼的命题涵盖这些情况否？或者，所考查的两个态是给定来着，不去（或不必去）变换它们了。反正，两者的错误性质一样的话，就可相互转换，否则，错得不一样，就不可相互转换。不知题目是否有这层意思？

ggglgq

　　
　　
　　
　　关于 正六面体三阶魔方 正确组装问题，在理论区讨论的比较多了，除了国内外
  
很多年前的零星（ 正确组装的概率 1/12 等）资料外，论坛中 rongduo 、乌木先生
  
及 pengw 、井井 等很多人对此都发帖作过阐述。如 乌木先生 的：
  
  
   魔方状态正误判据  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3744
  
  
  
   向楼主这样用 数字化描述（即 计算机语言 描述）的就不多了，很好！这是 21
  
世纪人类发展的必然。 由此可以看出楼主的 数学归纳 及 计算机编程实力 都很强！  
  
这里向大家再介绍一个 金优 先生的 随机装配正六面体虚拟五阶魔方能否完全复原的
  
数字化快速判断的方法：
  
  
    随机装配正六面体虚拟五阶魔方能否完全复原的数字化快速判断的方法
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1680&page=8#pid17758
  
  
    金优 先生这篇三年前的总结很精辟，只要再详尽些就可成为一部真正意义上的
  
“正六面体 N 阶魔方(内外嵌套)”定律。尤其是“正六面体 N 阶魔方（外部 或者
  
内部嵌套）的完全复原判定法（数字化表达）” ，可说是统一 并 数字化表达 了
  
pengw (“扰动”学说) 与 邱志红（内外一致） 的理论，是篇极好的精品论述！
　　
　　
　　
　　  
　　
　　

乌木

再把我的认识说说清楚，各位看看对不对。
三阶纯色魔方中心块组不动，随机组装角块、棱块，可能的状态总数为12N，N＝43 252 003 274 489 856 000。12N可分为12组，各组数目都是N。除第一组外，都是错装态。
1、正确组装、可复原类
2、一角顺翻类
3、一角逆翻类
4、一棱翻色类
5、一角顺翻＋一棱翻色类
6、一角逆翻＋一棱翻色类
7、二个块位置互换类
8、 7＋2类
9、 7＋3类
10、7＋4类
11、7＋5类
12、7＋6类

凡两个态属于同一组的，它们可以相互变换；凡不同组的两个态，不能相互变换。因为各组的组内变换规律完全一样。