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幻 环趣 说
一、幻环研究的兴起
2001年7月13日，北京申奥成功，举国欢腾！昆明理工大学的杨高石教授设计了奥运徽章幻五环，这既有伟大的历史意义，又是情趣盎然的数学小游戏。
芜湖王忠汉老先生由题解研究，推广到幻三环、相交幻五环，一番辛劳探索，趣解多多成谱，开创出与幻方相映成趣的又一分支——幻环。幻环与幻方分庭抗礼，其构造精巧微妙，来之不易，又美丽绝伦浸透一股魔力让我等痴迷探求，苦苦研究。王忠汉老先生先行一步，成果斐然！我闻之赞叹不已，灵感顿出，陆续拟出幻环初探十多图型附后。这三个月的探讨，已有百余趣解面世，还有难题征解，等候幻方同仁大展才智、奋勇赶上。特作出以下定义与研究，供幻环爱好者诸君参考使用。
二、幻环定义及数学本质
几个圆环相套，每一环内诸数之和S相等，称之为幻环。幻环内分割出的每一个封闭区域称作一元，合计n元；如果共有r个圆环，则这图型称为r环n元。如果n元数组内正好是一个1到n的自然数序列，不重不漏，我们则称它为有序自然数组。r环n元幻环的求解做法很简单，将n元有序自然数组的各数分别填入（放置到）幻环的每一元内；目标简单明确，要使每一环内诸数之和均相等，即都等于环和S，这是此幻环的一个正解。
为了研究方便，我们定义：某一元若是k个环的公共部分，即k环之交，则称其为k重元；某一环内共含有t个元，则称其为t元环。例如在图－3的相交幻五环中，有五个单元，七个二重元及三个三重元；它是由两个四元环、两个六元环与一个八元的中环构成的。
明显可见，k、t值越大，则幻环制作益加艰难！那目标环和S应是多少呢？计算重复的元或环都可得到折合元数，乘以n元有序数组的中值(1+n)/2，再除以环数r则得估计环和S0，成功当在其左右。偶得妙解，兴奋异常，看到了自己的灵巧与才干。
幻环填数的数学本质是一个非齐次线性方程组的求有序自然数解的问题。一个r环n元幻环对应着某一个特定的非齐次线性方程组，其**有r个n元(未知数)方程，可以写成一个r行n+1列的增广矩阵A:B；恒有系数aij=1或0，bi=S，S是仅取自然数值的可变参数。
例如上图－4：梨花四环十一元写成的线性方程组及增广矩阵如下：
此性方程组只有r个主元，及n-r个自由元，依说是有无穷多个解；但其中的有序自然数解（即解正好是一个n元有序自然数组）仅占很小的一部分，廖廖无几，非常有限，恰似沙里淘金，大海捞针！或许这就是幻环探寻的难度与趣味所在。
当解不满足x(i)∈[1,n]，但仍有x(i)∈Z或除中环以外，其余各环和相等，则称其是这幻环的一个广义解。广义解应是一时的权宜之计，或在无正解的情况产生，其价值偏低，切不可滥！
一般来说，一个幻环的有序解仍有偌多个，这些解又由于环和S的取值不同而分为若干种。有效（意义）的S的自然数取值是在一个相对而言比较窄小的范围内，此范围（区间）称作该幻环的环和带。S形成正解可能取的最小值是环和下限Smin，可能取的最大值是环和上限Smax，
明显可知，Smax－Smin+1是这个幻环的环和带宽L。
例如相交幻五环的环和带是 [38，44]，即相交幻五环的环和S只能取38到44中的一个整数才有意义，其环和带宽L=7。
如此看来，一个幻环确定一个齐次线性方程组A=0，它的系数矩阵为A；环和S的取值不同，则添上不同的列矩阵B，因而形成有限个不同的非齐次线性方程组A=B，由此得到这个幻环的各种解。只有得出所有的各种解，即每一种解内至少求出一个，我们才能自豪地说：我已经完成了这一型幻环的研究！
若以环内含有元的多少来定义大小环，则可以作出如下推论：
最大环(一般是中环)决定环和s的下限，而最小环是决定环和s的上限！这是新颖的幻环计算，具体如何分析及计算，待我稍后撰文论述。
我曾迷惑于编程让电脑运算寻找还是凭灵感拼凑，可能后者更快速见效些，因为在排列、组合与判断处，电脑远远逊于人的直觉！实践确实如此。
三、幻环的分类及制作方法
幻环美丽如花，故以花名冠之，根据其结构、由简到繁暂分为以下九类：
一、开天三兄弟；二、奇葩八姊妹；三、玫瑰满园；
四、春桃秋菊；五、百合争艳；六、零星花草；
七、花蕊飘香；八、小蝶飞舞；九、彩蝶幻梦。
各类幻环花开满园，争奇斗艳，春色盎然，可在第二篇《幻环群芳谱》内细细观赏。幻环本身具有对称之美，根据对称性分为轴对称，正对称与全对称三类；其中轴对称又可细分为一线、两线及多线对称。再根据环图构造分出一部分幻环为有中环型。
据目前填数经验与多个渐趋成形的幻环制作法，有中环型宜采用“中环开花法”，轴对称的可用“抓两头带中间”法，全对称可用“有序分组法”。制得原形后可考虑使用“向心对调法”再衍生出几个子形，来增加解的个数。
图－５：丁香五环十六元 图－６：百合四环十三元 图－7：梨花四环十一元
以下我们就具体的幻环图形来叙述对称定义及相应的制作方法。
例如奥运幻五环和相交五环仅关于一条纵轴对称，就称他们为一线对称；若再添加一条横轴也是对称，则称其为两线对称型，如图－4的梨花四环与图－5的丁香五环除了中环以外，其余是相同的边环，这r-1个边环的圆心组成一个正边形，此类称之为正对称型。
当r个圆环都是相同的结构，则称其为全对称，图－2的相交三环与图－6的百合四环属于全对称环型。
如果环图内含有一个元数最多的中环，那么它就属于有中环型。
图－2的相交幻五环属于有中环型，是王老先生的得意之作，他敏锐地觉察到中环或多元环是解题的关键，先用到棋子分成若干份，制作论述非常详细，我从中得益甚多，我称其为“中环开花法”。就取图－5的丁香五环为例：
先确定适当的环和S=52，选择52的一种不重复的8-分拆，即将52拆分为8个不重复的自然数之和 (1,2,3,4,7,10,11,14)，把这8个自然数放入中环。然后将余下的八数逐一放入，稍稍注意对称与均匀，恰当调动中环诸数来适应边环，使每一边环和S=52，这是十分简捷有效的制作方法。
图－4的梨花四环是无中环型的两线（轴）对称，我们采用“抓两头带中间”法。即从自然数1到n中选出等和的两组数，每组三个数，如图－7是(1,10,11)与(6,7,9)，放入环图的左右两头(翼)；再确定中间五数，适当调动两翼来配合中间，最后的一数(无关紧要)放在四环之交，即环图的中心，大功告成，环和S=32。也许先选每组四个数，例如将 (3,4,9,11) 与 (2,7,8,10) 放入上、下两翼，再作环内调动会更快捷些！
图－6的百合四环十三元属全对称环型，可用“有序分组法”。她是一个中专女生在画梨花四环时误画而创作，恰似一朵盛开的花，一个4重元的中心，视为花蕊，可填入1、5、9或13；余下由内向外，依次是三重元的内瓣，是二重元的中瓣及单元的外瓣。那么我们也将余下的12个数分成有序的三组，如图－6是环和S=53的一个解，把5作中心数，余下的数分为 (6,7,8,9)、(10,11,12,13)、(1,2,3,4) 三组，分别填入内瓣、中瓣和外瓣，略注意些对称成功亦不难。
成解后可将两组数进行有序对应对调，又得新的一解。这样共产生24个有序解，看到图－3的幻三环，我想她也应该存在较难寻找的无序解。
“中环开花法” 制得原形后，可考虑使用“向心对调法”来衍生出几个子形，来增加解的个数。例如图－5，丁香五环十六元制成的一解称作原形，之后在边环与中环之间作两数的对调，只要保证进、出中环的数和相等即可！如对调(11-6,14-8、2-13)得一个新解，(11-6、14-8、1-12) 又得一新解，(11-6、14-8、10-9、3-15) 得到第三个解，其中的“-”表示这两个数对调位置，如“11-6”读作“11到6”。这个方法是举一凡三，大大提高求解的效率，轻松自在，何乐而不为呢！
四、幻环研究大有作为
以上方法是制作的初步感觉，仅供参考。我是先做好n个硬纸片(棋子)，依序标明自然数1到n，这样取数或对调都相当方便，不重不漏，在画好的环图(棋盘)上演示、计算。熟练生巧，现在制作成功率高多了。特将幻环求解的制作及调整方法列表如下：
表－1：幻环常用的制作及变异(衍生子形)方法 幻环类型 | 有否中环？ | 代表环图 | 制作方法 | 变异（衍生）法 | 正对称 | 有中环 | 玫瑰 | 中环开花法 | 向心对调， 弧形对调， 等值交换， 跳跃对调。 | 一线对称 或二线对称 | 梨花四环 | 抓两头(翼)带中间 | 无中环 | 蝴蝶 | 扩散法(从内向外) | 菱形九环 | 农村包围城市(由外及内) | 全对称 | 无中环 | 百合 | 有序分组法 | 对应(等距)对调 |
随着我对幻环研究的深入，填数的技巧不断提高！美丽的花环填入和谐的数字，更显得奇妙无比，以下图－8与图－9是其中最美的两朵花，环和达到七十多，请细心观赏。幻环研究开展还不到一年，有如此诸多成果已使人欣喜，但前程探索尚远，幻环新花将会不断地开放！
图－8：玫瑰六环二十一元 s=76 图－9：玫瑰七环二十三元 s=75 在一环内填写自然数，加加减减，这比幻方计算容易得多！特别适合于少儿的智力开发，在欣赏图形美的同时，练习且提高了心算与统筹安排的能力。成人用她消遣多余时光，又享受了图形之美、数字组合之妙，岂不胜于久恋牌桌之疲劳吗？ 幻环本身就是美丽的图案，其中又蕴含着自然数的和谐，可以在报刊上开辟一小块填数游戏，两周一题，一日一解，为读者增添乐趣，也使报刊提高文化档次。还可以制成益智玩具，印在手帕，信封和作业封面上，或许有一些商机及经济效益，能服务社会是我等素愿，希望有意者与我或中国幻方协会联系。
五、幻环求解的乐趣
我们再来一起领略跳跃对调法的乐趣，先用中环开花法制作出图－10的花蝴蝶四环，这是其环和上限s=48；然后作跳跃对调(7-11、6-4、3-1)得到图－11的s=44。再由图－11作跳跃对调 (5-7、8-6) 得到图－13的s=42；也可以由图－10直接跳跃对调 (4-12、10-2、8-5、9-3、6-7) 得到图－12的花蝴蝶四环s=40。由一个原形对调变异共得到四种解，岂不乐哉！图－10：花蝴蝶四环十二元 s=48 图－11：花蝴蝶四环 s=44
图－12：花蝴蝶四环 s=40 图－13：花蝴蝶四环 s=42 清明春假堂侄女春梅来访，共赏幻环，灵感交融，竟能顿时悟出几个新颖的环图，图－15的梅花四环就是其中之一，它是采用“抓两头带中间”法的最好练习。直至四月底，环和最大的当数图－14的梨花五环，我做到环和s=95，并可作向心对调 (18-7、10-17、2-6) 得到另一个解。不知哪位灵巧的读者能先突破环和一百，达到桃红梨白。如诗所云： 环环相套五连环，连连花开趣相连， 巧思数字巧安排，奇妙解出心花开。
图－14：梅花四环十元 s=20 图－15：梨花五环十九元 s=95
六、杨老先生拟出的幻环难题
五一长假结束，收到王老转寄来的杨高石教授大作《幻环之美》，阅后令人兴奋不已。杨老先生在创作奥运幻五环之后，并未停步，而是跃马扬鞭，对幻环探索不止，作出许多精辟的研究。杨老又拟出很多美丽的环图，其中有的是与我不谋而合，更有相当难度、异常精彩的五个环型、五朵美丽的花！我们联手成为最佳组合，使幻环园中，春风劲吹，草木繁盛，百花绽开！以下是我对这五个环型探索求解，幸而有得，作为对杨老先生的一份敬意。
百合五环二十一元属于全对称环图，宜用“有序分组法”；以数21为花蕊，其余分成有序的四组，依次填入内层、次内层、中层及外层，得到的第一解s=101。之后可以使用对应对调法：即内层与外层对应的两数对调
(1-16，2-17，3-18，4-19，5-20)，得到它的第二解s=146；如此对调可得该组的24个解，换一个花蕊数又得到另一组解。
图－16：百合五环第一解 s=101 图－17：百合五环第二解 s=146
花蕊五环很有难度，我用“中环开花法”得出两解，但环和轻易过了一百。
图－18：花蕊五环第一解 s=100 图－19：花蕊五环第二解 s=108
蝴蝶五环是杨公拟出的又一难题，别有风味，虽属一线对称，但其中内涵多对等数和组。我用“抓两头带中间”屡屡试探，才作出了以下两解。
图－20：蝴蝶五环第一解 s=73 图－21：蝴蝶五环第二解 s=69
图－22：菊花六环第一解 s=69 图－23：菊花六环第二解 s=45 菊花六环又是属于全对称的美丽环型，用“有序分组法”求解不难，之后可使用对应对调法共得六个解。图－22的菊花六环s=69应是环和最大的解，或许还存在着它的不对称解？
七、交流唤出灵感，幻环再添新花
杨高石老先生的巧妙构思唤起我的灵感，在菊花六环内添加一个中环，就是美丽的菊花七环。中环十二元可先填入1至12，其和78，稍注意些均匀，再将边环逐一调整，终于得出一个解。因为她属正对称，所以在中环内、外分别尝试对应对调法又衍生出其它三解。
图－24：菊花七环第一解 s=82 图－25：黑蝴蝶五环第一解 s=44
从图－20演化出的黑蝴蝶五环，由中环开花再顾及两后翼对称，很艰难地作出两个解。还有杨公画出的百合六环因环和极大，而我仿制的蝴蝶六环图型过于复杂，有待于人们今后继续摸索，用艰苦的工作及灵巧的思维来迎接她们的首解面世。
(26)杏花四环最大环和 s=30 (27)玫瑰五环 s=50 (28)玫瑰五环 s=64 对于幼儿和中小学生，我们先用美丽而简单的环图引其入门，例如梅花四环与杏花四环属于一星级，非常适合。由易渐难，在培养出一定的计算能力后，进入二星级的五环研究，并体会到幻环的解及变幻之美，同时欣赏一些较难的环图，鼓励他们攀登向上的信心。要使环图美观准确，宜用电脑中的PowerPoint作图！先拉出圆选择半透明，再填入美术数字，最后组合成一个图片，拉到适当大小；尽量使用复制、粘贴到Word文档中，这会简便、快捷得多！
原以为图－29的菱形九环不可能有正解，我先填写四周边环，再向中环调整、挤入，竟获成功，真是奇解！我戏称此法为“农村包围城市”。得到孤解s=39，登上39级台阶，奔向奇妙而辉煌的幻环殿堂，到处堆积着前所未见的宝物，欣喜欲狂！号召幻方同仁与爱好者破解难题、续拟新奇环型，将各种成果汇集到芜湖王忠汉老先生处；按环图结构、环数r来分编成谱，谱内依次记录各个花型及解，由简到繁，稍加评述，留下扩充的余地，方便推广，给社会各界爱好者欣赏和学习。
[ 本帖最后由 kexin_xiao 于 2010-1-14 08:44 编辑 ] | 
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发表于 2010-1-13 17:49:40
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