公司应该雇用多少员工？

唯有混沌

某公司有一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工放假一天。但在其余所有时候，所有员工正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？
    假设一年有 365 天，每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。

老沙

365个人           .................

低调的MJ

应该是人越多，几率越大，但是没有最大吧。。。。

玉逸风

我觉得人数要尽量的少。。。。。。。。。

盲拧着摸象

我是这样理解的
期望值m=（365-员工生日数）乘以员工总数
而此题牵扯到最大 那么估计不是1就是无限(本人胡思乱想的)



员工越多生日在一天的几率就越大 那么应该是1名员工

[ 本帖最后由 盲拧着摸象 于 2011-7-19 22:05 编辑 ]

xiaoshudian

1个人最好，休息一天，需要工作354天

lulijie

假设招聘n个人，总工作时间的期望为f(n)。   每个人生日在任何一天的概率都是1/365。
那么f(1)=364
      f(2)=726+2/365
      ....
    n越大计算就越复杂，但开始的时候f(n)是增函数。
为了了解f(n)的大概趋势，下面用电脑来模拟。
对于任意一个n，随机确定这n个人的生日，从而计算总工作时间＝n*(365-不同生日数），对于每个n随机模拟10000次，计算总工作时间的平均值来估计f(n)。
------------------------------------------
n        f(n)的估计值
400  48702.8799999999
390  48805.809
380  48899.844
370  48940.529
367  48944.7715000001
365  48928.14036
360  48903.6959999998
350  48854.0150000002
－－－－－－－－－－－－－－－－－
从以上看出n大概在360－380之间，f(n)最大。
具体到哪个n值，f(n)最大？
需要精确计算，或增加模拟的次数。

sjont

设随机变量人数为N 工作天数为M
可得期望 N和M有 E(N) + E(M )=E(N+M)
总工作时间=N*M
总工作时间的期望=N*E(M)
在特定的一天中~~没有人过生日的概率是(364/365)^n  那么这一天的总工作期望天数就是n*(364/365)^n
只要考虑工作天数期望的最大值
所以只需要总工作天数期望函数随人数变化的单调性
看函数 F(N)=[(N+1)*(364/365)^(N+1)]/ [(N)*(364/365)^(N)]的值的变化，F(N)>1则函数单调递增 F(N)<1则函数单调递减
即F（N）=1时  工作期望函数达到顶点  因为N属于自然数
所以解得当N等于365时 总工作天数期望最大
所以公司雇佣365名员工时总期望工作时间最大

如果考虑到闰年的计算还没考虑过 考虑到闰年 则有可能有人四年过一次生日 而那一年总天数为366天
但是只取正整数的情况下闰年误差应该不会影响到结果

[ 本帖最后由 sjont 于 2011-7-23 17:56 编辑 ]

lulijie

8#的想法非常好。根据8#的思路，期望值f(n)=365*n*(364/365)^n
当1+n*ln(364/365)=0时，f(n)取最大值。所以n=1/ln(365/364)=364.49977137619986719842604528204.
由于n为整数，所以应该比较f(364)和f(365)的大小，根据8#的计算结果，它们相等。所以n=364和365时，f(n)取最大值=364^365/365^363=48943.523805351118109005476101081.
由于聘365人的工资花费大，所以应该聘364人。