魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 〖讨论〗以前画的一个2x2x2魔方180度状态图 [打印本页]

作者: noski 时间: 2009-5-23 14:21:03 标题: 〖讨论〗以前画的一个2x2x2魔方180度状态图

几个月前画的，二阶魔方只转180度的转动，共有24个状态，想了想这些状态之间的关系就画出了下面的图。。发出来大家看看，也许会有点启发

实线表示R2，点线表示F2，虚线表示U2；不同颜色表示不同的代数，从右下角的小图可以看出从中间的复原态出发最远态需要4步。
左边的大图是无限伸展的。。

附件: 2x2cube.gif (2009-5-23 14:21:03, 32.58 KB) / 下载次数 84
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTE0OTJ8MTM1MjkzNTR8MTcxNDk4NTE3MXwwfDA%3D

作者: 无限正义 时间: 2009-5-23 14:22:20

群论。蜂窝图吧。其实就是个规律集合后的几何图吧。不太懂

作者: yq_118 时间: 2009-5-23 14:25:38

难度是图论，可惜点太少了，不然很容易求最短路径的。
还有，你总得标明每一个点代表的状态吧

作者: maqianxi 时间: 2009-5-23 14:26:31

LZ真强悍啊~把这个都弄出来了~~可以，看不懂啊~~

作者: 汕头=老沙 时间: 2009-5-23 14:28:29

看了头晕！！！！！！

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-5-23 15:02:27

顶,好强,楼主应该更详细的介绍下

作者: kevinyzs 时间: 2009-5-23 15:08:09

鄙人才疏学浅看不懂不过还是顶一下毕竟lz花时间做出来的

作者: a306818142 时间: 2009-5-23 15:38:08

看不懂～～数学不及格～～

作者: lamianbu 时间: 2009-5-23 15:38:41

貌似很高深的理论。

二阶最小步，人脑可以和计算机一样吗？

作者: yq_118 时间: 2009-5-23 15:52:17

实际有上百万种状态，全画出来光看也会崩溃

作者: 乌木 时间: 2009-5-23 16:24:55

既然共有小图所示的24个态，那么，大图中24态之外所延伸出的态，都是分别和24态之一同态，对吗？

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-23 16:29 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-5-23 17:06:55

先看看0步态到3步态共19个态的由来，还有5个4步态的由来待补充。
二阶180度转24态－1.GIF

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作者: noski 时间: 2009-5-23 17:27:19 标题: 回复 12# 的帖子

对啊，都是重复的，在大图上走，大概可以感受到公式的循环吧。。

作者: 乌木 时间: 2009-5-23 19:08:12

9个3步态可以有18个4步态，但只有5个是新态，另13个不是隔代同态，就是同代那5个新态的同态，故消去13个4步态。
二阶180度转24态－2.GIF

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作者: 夜雨听风 时间: 2009-5-23 20:43:18

乌木老师
让人佩服在强了

作者: 乌木 时间: 2009-5-23 22:24:02

其实，一般按照树状结构找出这24态并不难，却原来可以把它们按照网络结构布排的，而且看上去更能反映这24态之间的相互关系。noski常有精彩东西奉献大家。

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-23 22:33 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-5-24 00:36:32

24个态具体化并对应如下：
二阶180度转24态－3.GIF

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作者: harrymah 时间: 2009-5-24 01:14:37

看着好刺眼的说.........

作者: 乌木 时间: 2009-5-24 08:57:59

noski把这24态网络外延的好处之一，看来是找任何两个态之间的最短路线时，可以不限于最初的24态网内，可以保证路线是最短的。比如，不妨把24态用编号代替，在态2-4到态4-1之间路线，限于最初的网内的话，为F2R2U2F2R2U2（6步），但是到外延区域的态4-1为 R2F2U2F2（4步）。
二阶180度转24态－4.GIF

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作者: 乌木 时间: 2009-5-24 09:48:47

另一用途是找循环步骤，比如，20楼的例子表明，F2R2U2F2R2U2 ＝ R2F2U2F2 ，那么，马上可以知道，任何一态做 F2R2U2F2R2U2 F2U2F2R2 后，一定复初。

由20楼例子的有趣性质，令人联想到，有的理论认为，在广袤的宇宙中，从一处要到相距遥远的另一处的话，或许通过一个“虫洞”，在另一端就到达那里了，很快、很近。

作者: Cielo 时间: 2009-5-24 11:24:16

其实以前也讨论过平面图和立体图的问题：

如果能在球面上画出来这个图（24个顶点，36条边，12个面）应该更直观，只是希望24个点看起来不要太混乱

作者: 乌木 时间: 2009-5-24 11:36:16 标题: 回复 22# 的帖子

看来这也是个好办法。比如我要从上海到北京，不仅可以往北走，也可以往南绕地球走，等等。各种路线中，比较下来，有一条或几条最短。

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-24 15:26 编辑 ]

作者: JAVE 时间: 2009-5-24 11:50:11

我看不懂。。。无语！·

作者: kexin_xiao 时间: 2009-5-24 21:37:33

能详细再给说明一下吗,等着学习

作者: noski 时间: 2009-5-24 21:52:48

回复 22# 的帖子

嗯，记得，所以画了这个，是因为这24个点的关系要画在一个3维空间的球面上似乎不太可能。

回复 25# 的帖子

乌木前辈说的很详细了，就是这24个状态，画在一个平面上，就可以看出态态的等价、最短路径、公式循环等等。不过要是状态再多一些，就很难画出来了。。

作者: 乌木 时间: 2009-5-24 23:24:31

也就是二阶，再加限180度转，顺、逆步骤一样，故好画一些，一个态周围只有三个态。三阶的话，即使限180度转，却不止三种动作，一个态周围有六个态，不易画图，只能计算的了。
不限180度转，二阶也蛮复杂，未见有画图的，论坛中已有计算。

作者: ggglgq 时间: 2009-5-25 00:10:33

　　
　　

　　感谢乌木先生为大家提供了许多具体、形象、直观的正六面体二阶魔方

（R2F2U2）平面拓扑状态图！  此贴使我想起了三年（几乎四年）前的故事：



记得 2005 年前后，noski 在研究 1×2、2×2 等魔方的状态图时，我就

多次提醒并发短信给 noski ，指出魔方状态图应该是分布在一个球面上的。

如果魔方满足空间对称，那么魔方状态图应该是“均匀”分布在一个球面上的。

帖子个例：

   由哈密尔顿图到魔方状态的遍历  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=911

   一个最简单的魔方状态图 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=989


   之前很早，我便称魔方的状态图为“循环变换球面网”！那时，noski 仍然

固执地认为魔方的状态图为平面或三维网状图！可喜的是，到了 2008 年初

最小循环周期为总状态数的魔方 5 —— 13 楼

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5240

noski 终于有所顿悟！实际上，魔方的状态图为高维空间的“循环变换球面网”！

当然，这个高维空间的“循环变换球面网”之所以能困扰 noski 多年，正是因为它

类似于正六面体二阶（或各类）魔方的这种平面（或立体）拓扑状态图的迷惑性！



　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2009-5-25 00:12:17

　　
　　
　　
　　

有关 “循环变换球面网”的知识，请大家参考：


2×2 平面魔方“循环变换球面网”实例  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=153&extra=&page=6

正六面体循环变换球面网等实例  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5798
　

作者: Cielo 时间: 2009-5-25 13:49:20

原帖由乌木于 2009-5-23 17:06 发表
先看看0步态到3步态共19个态的由来，还有5个4步态的由来待补充。

4步态有两种，
一种是方框中的两个，图案特点是：从任一个顶点看过去，都是一个“三叶风车”。
从复原态做 R2F2U2R2、R2U2F2R2 可以得到。
另一种是椭圆框中的三个，图案特点是：有两个面颜色正确，其余四个面都是棋盘。
从复原态做 R2F2R2U2、U2F2U2R2、R2U2R2F2 可以得到。
二阶180°转24态中的4步态.gif

具体由来就比较复杂了，乌木先生辛苦了！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-5-25 13:50 编辑 ]

附件: 二阶180°转24态中的4步态.gif (2009-5-25 13:50:35, 20.48 KB) / 下载次数 29
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTE3OTZ8MDdkMTQ3ZGF8MTcxNDk4NTE3MXwwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2009-5-25 16:56:07

对着这24态关系网发呆，还可以看出一点：与其说是这24个态如此这般布排，不如说是那三种变换（指R2、F2和U2）的布排，即是这三种变换的关系网。把图中的三种连线看作化学中苯环的六根键的话，有些许相似处。在图中，目前是把复原态放在中心，其实，任何一态都可以放到中心，相应地别的态分别依据那三种变换，各就各的新位置。也就是，在延伸的图中，可以任选一态为中心，周围23个态看作该中心态的四代子孙。在这种意义上，24个态是各态平等的。

作者: Vicki 时间: 2009-5-25 16:59:57

其实可以理解为1x2x2~

好像最远状态3步还原~

作者: noski 时间: 2009-5-25 18:01:57

原帖由 ggglgq 于 2009-5-25 00:10 发表
　　
　　

　　感谢乌木先生为大家提供了许多具体、形象、直观的正六面体二阶魔方

（R2F2U2）平面拓扑状态图！  此贴使我想起了三年（几乎四年）前的故事：



记得 2005 年前后，no ...

g大师经常把话题扯得比较远，其实你的意思就是，1楼的图表面上看来是个平面的图，其实只是多维空间球面的一个迷惑性表现而已。

这里我也不是要支持球面还是平面的理论，只是觉得这个性质正巧可以画出这个图而已，而高维的东西，又怎么画得出来呢？

作者: Cielo 时间: 2009-5-25 23:07:48

原帖由 noski 于 2009-5-25 18:01 发表
这里我也不是要支持球面还是平面的理论，只是觉得这个性质正巧可以画出这个图而 ...

嗯嗯这个图还是在平面上比较好。

我之前说的24点、36边、12面，欧拉数是0在球面上是不可能的了，得在环面上考虑了……

作者: ggglgq 时间: 2009-5-26 09:06:14

原帖由 noski 于 2009-5-25 18:01 发表

这里我也不是要支持球面还是平面的理论，只是觉得这个性质正巧可以画出这个图而已，而高维的东西，又怎么画得出来呢？

　　
　　
　　
   呵呵，魔方的“循环变换球面网”却是不以人们的意志（情绪、喜好）为

转移（改变）的客观存在呀！如果我们说因“画不出来高维循环变换球面网”

而谈“支持、不支持”的问题，这比较荒唐和无聊了！

  　　
　　　　
　　
　　

原帖由 Cielo 于 2009-5-25 23:07 发表

我之前说的24点、36边、12面，欧拉数是0在球面上是不可能的了，得在环面上考虑了……

　　
  　　
   正六面体二阶魔方（R2F2U2）的循环变换球面网与其平面拓扑状态图

是不同的结构，况且 “欧拉公式” 对高维空间未必适用！请仔细考虑！

大家可以借鉴 123 魔方的正九面体循环变换球面网



http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5798&extra=&page=2

的 123 魔方“ 高维空间正九面体循环变换球面网” 的构造来理解！

   这个“ 高维空间正九面体循环变换球面网” 是高维的，至于是几维，

我没有研究过。大家可以对比参考！

　　
　　　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-5-26 16:11 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-5-26 09:08:24

　　　　
　　
　　
　　对于该主题，本人对另两个相关问题也比较感兴趣：


　　1、“奇偶差异性魔方”具有“奇、偶状态数相等”的属性，奇、偶状态数

都是总状态数的一半。

  　　
　　2、“奇偶差异性魔方”的两个定理：

   定理一：设奇偶差异性魔方的最长变换的长度为 x ，并设：
            a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。

   定理二：设奇偶差异性魔方的最长变换的长度为 x ，并设：
            a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。

相关问题请大家参考： 奇偶差异性魔方

　　因为正六面体二阶魔方（R2F2U2）是“奇偶差异性魔方”，大家不妨

验证一下以上两个问题，很有趣的！
　　
　　
　　　　
　　
　　

作者: 乌木 时间: 2009-5-26 10:56:54

36楼说的定理一和定理二，对我来说，蛮难懂。在本帖所讲的限R2、F2、U2的二阶变化态的场合，两个定理是不是可以用下面两例来具体说明：
定理一：x＝4，d＝F2，A＝U2F2R2U2，那么，果然有个B＝F2R2U2F2＝A 。
定理二：x＝4，d＝R2，A＝U2F2R2F2，确实有个B＝U2R2F2R2＝A 。

我的问题是，对第二个例子，是否有个R2开始的公式B，以便体现定理一呢？

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-26 11:05 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-5-26 11:11:41 标题: 回复 37# 的帖子

啊，找到了：
x＝4，d＝R2，A＝U2F2R2F2，确实有个B＝R2F2R2U2＝A 。

同一个A，既有体现定理一的B，也有体现定理二的B。

不过，d是不是可以任意？

是不是本帖条件下的普遍的规律呢？或者是否所有满足定理条件的魔方都这样？

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-26 11:19 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-5-26 11:29:10 标题: 回复 38# 的帖子

看来，d是可以任选的，下面不是证明，仅是一个例子：

A＝U2F2R2F2 ，
d＝R2 ，B＝R2F2R2U2＝A ；
d＝F2 ，B＝F2R2F2U2＝A ；
d＝U2 ，B＝U2R2F2R2＝A 。

作者: ggglgq 时间: 2009-5-26 11:32:40

　　
　　

既然是定理，当然满足定理条件的魔方，结论都成立啦！呵呵！

比如

应该是乌木先生再熟悉不过的了吧！



下面是正六面体二阶（R2、F2、U2、L2、B2、D2）魔方的一个最远状态公式 A ，

   请大家参考：x＝4，A＝U2F2R2F2＝

1)  B2 L2 B2 D2
2)  B2 L2 B2 U2
3)  B2 R2 B2 D2
4)  B2 R2 B2 U2
5)  D2 B2 L2 B2
6)  D2 B2 R2 B2
7)  D2 F2 L2 F2
8)  D2 F2 R2 F2
9)  D2 L2 B2 L2
10)  D2 L2 F2 L2
11)  D2 R2 B2 R2
12)  D2 R2 F2 R2
13)  F2 L2 F2 D2
14)  F2 L2 F2 U2
15)  F2 R2 F2 D2
16)  F2 R2 F2 U2
17)  L2 B2 L2 D2
18)  L2 B2 L2 U2
19)  L2 F2 L2 D2
20)  L2 F2 L2 U2
21)  R2 B2 R2 D2
22)  R2 B2 R2 U2
23)  R2 F2 R2 D2
24)  R2 F2 R2 U2
25)  U2 B2 L2 B2
26)  U2 B2 R2 B2
27)  U2 F2 L2 F2
28)  U2 L2 B2 L2
29)  U2 L2 F2 L2
30)  U2 R2 B2 R2
31)  U2 R2 F2 R2
　　
　　
　　
　　　    　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-5-26 11:59 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-5-26 16:08:23 标题: 回复 40# 的帖子

严格说来，式A只等于15个打勾的式B，另16个式B要加一步CU2之后，才等于式A。好像g老师是主张魔方整体运动产生新态的，莫非此处要临时采用一下“整体运动不产生新态”这约定？
二阶180度转24态－5.GIF

附件: 二阶180度转24态－5.GIF (2009-5-26 16:09:05, 9.6 KB) / 下载次数 24
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTE5NTN8NzUzZjAzZGZ8MTcxNDk4NTE3MXwwfDA%3D

作者: ggglgq 时间: 2009-5-26 16:22:11

　　
　　
　　
　　　呵呵，好像乌木先生的问题与本主题并没有冲突呀！

作者: 乌木 时间: 2009-5-26 17:11:37 标题: 回复 42# 的帖子

不是冲突不冲突，而是，如果式A也等于那16个不打勾的式B的话，无意中多了一个约定－－如果魔方整体运动一下，才和另一状态完全一致，那么，这种情况也计入。
这并无不可。
只是有一点，noski那图中全部是转表层变化（R2 ，U2和F2），并无魔方整体运动，现在增加了约定，恐怕情况要复杂些了吧？比如，那16个态安排到noski图的何处呢？

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-26 17:14 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-5-27 08:18:18

　　
　　

原帖由乌木于 2009-5-26 17:11 发表
不是冲突不冲突，而是，如果式A也等于那16个不打勾的式B的话，无意中多了一个约定－－如果魔方整体运动一下，才和另一状态完全一致，那么，这种情况也计入。
这并无不可。
只是有一点，noski那图中全部是转表层变化（R2 ，U2和F2），并无魔方整体运动，现在增加了约定，恐怕情况要复杂些了吧？比如，那16个态安排到noski图的何处呢？

　　
　　
　　


　　看来乌木先生终于认可“骰子的整体翻转”改变状态了？认可喝酒、

打麻将时掷“骰子”的人们都在玩魔方喽！显然《什么系统才叫魔方？》

   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12314

中需要加上“骰子魔方” 喽！真是可喜可贺呀！



   这个问题不知在论坛中积攒了多久？比如最近《一阶魔方， 1×1×1 》

竟然有人多次挂着 “1X1X1不算做魔方，理论乌木大烟头等人都说过” 的招牌

到处招摇，比如《一阶魔方， 1×1×1 》 49 楼等！

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=28579&extra=page%3D1&page=5

呵呵，您的《魔方分类理论》在哪里？能否让大家见识一下呢？

我想，如果乌木先生是个负责任的魔友（学者），至少应该澄清一下吧？！

如果这个问题真正解决了，那么您的上述问题可能也就没有了！
　　
　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-5-27 09:01 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-5-27 08:18:36

　　

   noski 的这个图除了可以用来比较分析正六面体二阶魔方（R2F2U2）

的循环变换（及其所属的最少步变换），还可以更容易地用它寻找该魔方

的遍历循环！如遍历正六面体二阶魔方（R2F2U2），下面对比参考：　
　　

作者: 乌木 时间: 2009-5-27 09:25:53

参照系建在魔方上，则魔方整体运动不产生新态；建在魔方外，则产生新态。两者前提不同，并无你死我活的矛盾。
3×3×3降为2×2×2，仍为魔方；降为1×1×1后，量变引起质变，我宁可不称其为魔方。

至于骰子的状态变化问题，同样，参照系建在骰子上，则整体运动不产生新态；参照建在骰子外，则整体运动产生新态。仅就这两条而言，骰子和魔方有共同之处。

[ 本帖最后由乌木于 2009-5-27 11:34 编辑 ]

作者: taotol 时间: 2009-5-27 11:29:37

琢磨了半天~ 还是不太明白~

作者: 无为子 时间: 2009-5-27 11:41:18

看得有点糊涂，但是要回帖，看贴回贴是美德

作者: yilonglucky 时间: 2009-6-1 02:14:43 标题: 回复 6# 的帖子

图论……
离散数学里的……
大学工科或者理科里有关图的工程数学……
学好了能解决很多实际问题，我们讲离散的老师是从北航毕业的……她说她当时能进航天局的，不晓得真的假的

作者: ggglgq 时间: 2010-1-16 19:18:23

　　
　　
　
我的为人很低调，更不愿与人杯葛，因此我就不在争论主题中回复了。

   争论主题：《证明完毕，任何正六面体魔方没有所谓“超级公式”》

   主题地址：  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=46291

希望大家理解，更希望借此帖消除争论主题的是是非非！


该争论主题的一个反例：正六面体二阶魔方遍历（超级公式）图示

因此，该争论主题的命题是错误的。

同时，希望各位魔友用理智、科学、负责的态度探讨问题！

　　
　　
　　

作者: 百度oscarzhoud 时间: 2010-1-30 10:17:22

看不懂额。。呼呼，是去群论吗

作者: 洛阳狼王 时间: 2010-1-30 10:20:38

这个很吊就是我看不懂唉，悲哀呀

作者: versionxp 时间: 2011-4-10 20:32:17

这贴集各个前辈的知识于一身啊，先收藏了！

作者: d891320478 时间: 2011-4-10 20:35:27 标题: 回复 3# 的帖子

我觉得最短路还是很好不就的……关键是这个图要怎么去构建……

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)