关于魔方的一种分类理解

foreverlucklife

    在去年年末的时候看到蚂蝗老师呼吁大家讨论关于魔方分类的问题，那时候在工作中没时间系统整理，最近众所周知的“有时间”，所以就把自己的一种理解方式发上来供大家讨论。
    我的这种分类方式有些类似传统的阶数，又打破了传统的轴型，所以可能会有没考虑到的地方，有错误请各位指点。










不知道什么原因文字粘贴不过来，就先发图片了，魔方样图有空整理在发过来。

Sarath

如果程序里的魔方也算，那可以按照维度分类，2维3维4维5维6维7维，唉，至今不会还原三阶四维超立方体

RoobiksKillbe

楼主的整理确实很有意思，让我见识到了很多我从来没见识过的异形魔方，分类方法也有很多合理且可供借鉴之处。但同时也存在一些问题，这些问题也是我个人的疑问所在：
1.首先是转面和转层的描述太模糊了，“实质性变化”是一个关键的区分词语，但是楼主对这个词的解释好像又把这个问题搞得更混乱了。既然“单独转动一层没有变化指的是智慧轮转动最上面的一层圈，从外形来看和没有转过一样的这种方式”，那么根据楼主对转层的定义（单独转动一层没有实质性变化），智慧轮应被归为转层才对，但楼主却把它归为了转面，所以我被搞糊涂了。也许是楼主把转面和转层的描述写反了？如果是这样的话，这样的定义也是有问题的。由于楼主把时间机器和智慧轮归为同一种，那我就默认楼主是无论颜色和方向如何都是严格区分所有的块的。这样看的话，智慧轮转动上面一层小轮子和三阶魔方转动一层似乎也没什么区别。首先，它们的外形都没有变化，其次，转动层包含的块的位置都发生了变化，无论这叫不叫有“实质性变化”我们都看不出这两种转动有什么区别，然而楼主却把它们分别归类为转面和转层，这依然让我很迷惑。
2.然后是转角和转棱的问题，它们应不应该作为区分类别的手段？个人认为不应该，因为角和棱的说法是依赖于魔方的整体形状的，有些魔方从形状上看是转角转棱的，但其实质与所谓的转层无异。比如说移棱魔方，它明明转棱了，但没有人认为它和普通三阶有什么实质性的区别，楼主自己也把它归类为转层而不是转层和转棱的复合就已经很能说明问题了。
3.关于角度切割，按照你的描述，对应的应该是各种混元魔方（包括八卦），但我隐约觉得它也可以用来产生捆绑，因为无论是混元魔方还是捆绑魔方，都存在一些块必须要转动到特定位置才能通过旋转层分离的特点（这样看来连智慧轮和时间机器也属于角度切割或者捆绑）。反过来通过捆绑似乎也能产生角度切割的效果，也就是说，先切割，再把一些多余的块给捆绑掉，就能产生角度切割的效果。如果它们都能互相产生对方的效果的话，那么角度切割和捆绑就是等价的。当然这个有待讨论，会不会有特例不好说。
4.对于深切和浅切，似乎是专指正多面体的，我不知道对于非正多面体形状或非规则切割还有没有这样的概念，但对于三阶正六面体来说，你既可以说它是单层的浅切也可以说成是双层的深切，会有一些歧义。另外对于更复杂的情形来说切割深度可能就不止分这两个档次了，所以切割深度的概念还是有些局限性的。我在想，既然切割深度是以是否产生新的块来划分的，那么我们为什么不直接用块与块之间的关系来代替切割深度呢？
总结一下，如果按照下面的步骤来切割一个形状体，应该能生成大部分种类的魔方：
1.选择一个轴，选择一个切割线，然后对一个形状体进行旋转切割；
2.重复上面的步骤进行多次切割；
3.选择一些块进行捆绑；
4.定义等价块及其对应的轴。
不过好像这么一搞就离魔方分类越来越远了，因为上述的依据要用很复杂且繁杂的数学语言才能描述，形状体是怎样的？轴的相对位置是怎样的？切割线方程是什么？块的捆绑类型怎么描述？等价块呢？这些都不好作为类别的划分依据，揉得太碎了，也许可以产生大多数的魔方，但要分类的话，还得进一步抽象化。另外上面的步骤似乎可以指导设计出某种可以对任意魔方进行建模的软件，不知道目前是否存在类似的软件。

cube_master

关于魔方的分类问题，我也考虑很久，借此帖提供如下方案供应大家探讨：

1. 旋转轴
2. 基于1的切割层数，即不同旋转轴的切割不累加。
3. 基于2的切割深度，切割深度对复原难度和结构设计都有很大影响，我觉得有必要。但会随着等价轴的增加，使切割深度的区分变得更难。
4. 外形，在我看来，外形在这里最不重要。

折翼蚂蝗

foreverlucklife 发表于 2020-2-7 12:44
单独转动一层没有变化指的是智慧轮转动最上面的一层圈，从外形来看和没有转过一样的这种方式

这取决于智慧之轮的轮子有没有色向。如果做成时间机器那样的轮子，那么单转一层就有变化了。
我觉得魔方分类应该充分考虑魔方本身的转动特征，而不受贴纸是否有色向的影响。

另外，老大关于深切浅切的理解我赞同。比如通常的三阶五魔，是浅切；紫透龙珠Starminx是深切，而“菊花五魔”是正十二面体转面的深浅临界状态。
继续发展这种观点，旋转面切割经过临近一组等价棱，是深切。如果切割经过临近两组等价棱，是不是更深切呢

jjuudydy

我是觉得讨论深切浅切没太大意义，如果说转角三号五魔是深切的话，那么在11cm龙珠包装盒上印的那个转角的五魔方也应该做个区别的，比那个切割深度还大的话，就不光是把临近的旋转轴切了，而且还会多切一部分稍远的旋转轴，这个时候是叫超深切比较合适了，但是这样的话，其实又变得复杂了。

cube_master

foreverlucklife 发表于 2020-2-7 12:38
是的，我也是这样理解的，只有涉及到中心块位置变换才算深切。对半转动这种我认为都属于浅切

不是所有对半转都是浅切，正12面的对半应该都是深切。

foreverlucklife

折翼蚂蝗 发表于 2020-2-6 18:48
“老师”不敢当，我顶多是个老顽童
关于转层的解释“单独一层转动没有实质性变化”，不太理解。实质性变 ...

单独转动一层没有变化指的是智慧轮转动最上面的一层圈，从外形来看和没有转过一样的这种方式

foreverlucklife

cube_master 发表于 2020-2-6 20:46
抛砖引玉
关于浅切和深切定义的个人建议：绕某一轴旋转的切割，从轴的两端看，把邻近等价的轴都切割了，视 ...

是的，我也是这样理解的，只有涉及到中心块位置变换才算深切。对半转动这种我认为都属于浅切

cube_master

抛砖引玉
关于浅切和深切定义的个人建议：绕某一轴旋转的切割，从轴的两端看，把邻近等价的轴都切割了，视为深切，否则是浅切。
如六面体四阶，按上面定义，只转动一层时，从轴的一端看是浅切，从轴的另一端看已经切割邻近的等价轴是深切，因此转一层属浅切。
又如12面体斜转（pentultimate），每一个转动，从轴的任一方向看都把邻近等价轴切割了，这个旋转才属于深切。
问题是某旋转刚好切割到邻近等价轴，应该算什么？如正六面体的偶数阶的对半转动。从设计角度看这个似乎不算深切。