一个超难转换神奇的变量

伤心邪神

<P>一个人以速度V1向前走，但是与V1夹角为θ，距离为L的地方，有一条狗以速度V2向人跑来，V1，V2始终不变，V2大于V1，但是狗每时每刻的改变速度，使其速度V2方向始终指向人。</P>
<P>问：当狗追上人时，时间T用V1，V2，L，θ表示。</P>
<P>这个问题给我的第一印象是应该无限分割但是，数据太多我无法算出，望有人教教我怎么做。要不是狗的速度方向改变的话，我找算出来了。V2这个变量太难掌握了。</P>

lulijie

如果你会任何一种程序语言，用一个循环语句就可解决问题。我用VB语言编的。程序非常简单。<br>-----------------------------------------------------------------------<br>'人初始位置（0，0），狗初始位置（x0，y0）<br>'t时刻时，人位置（v1*t，0），狗位置（x，y），r为t时刻人狗的距离<br>'dt 为t时刻的微小时间变量<br>'ξ为极小量 ，若r小于ξ，则认为r已等于0<br>'在t到t+dt的时间内，认为狗做匀速直线运动<br><br>x = x0<br>y = y0<br>v1 = 10<br>v2 = 20<br>dt = 0.01<br>ξ = 0.0001<br>t = 0<br>'以上初始量可随意设置，dt和ξ可随意设置到足够小<br>Do While True<br>&nbsp; r = Sqr((v1 * t - x) * (v1 * t - x) + y * y)<br>&nbsp; If r &lt; ξ Then Exit Do&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '人狗相遇后离开循环<br>&nbsp; x = x + v2 * (v1 * t - x) / r * dt<br>&nbsp; y = y + v2 * (0 - y) / r * dt&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '获取t+dt时刻狗的位置<br>&nbsp; t = t + dt<br>Loop<br><br>MsgBox ("相遇所需时间为" &amp; t)&nbsp;&nbsp;&nbsp; '显示相遇时间。结束程序。<br>--------------------------------------------------------------------------<br>因为V2小于V1时，循环体中，r会越来越大，所以循环体中还要加上语句，若r变大时退出循环，以免进入死循环。<br>v2等于v1时，得到的相遇时间很大，这是因为ξ尽管是极小量，但不等于0，dt也不能取得足够小，这要受电脑计数的精确度和运行速度的影响，但很大的时间值可以认为无穷大，也就是它们不可能相遇。<br><br>

铯_猪哥恐鸣

还有..对你能够用编程来模拟这个运动,我表示佩服...反正我是想了半天也没想出怎么用编程来模拟这个东西.....

铯_猪哥恐鸣

因为对于dt时间,是可以把运动当成直线的,所以分解后的垂直速度就是我说的那个东西,你所说的偏离量很容易计算出是个高阶小量,直接可以忽略不计.所以对时间的积分就是接近路程

lulijie

在23＃中<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color: Red;">那么 始终指向人方向的运动 的速度 Vt 在t时刻为v1*sinθ <br><span style="color: Black;">此句错了。总算发现错误所在，可以安心的去睡觉了。</span><br></span>

lulijie

用电脑编程序，验证公式<br><span style="color: Red;"><span style="color: Black;">T=[L/（V2+V1）]*[（V2-v1cosθ）/（v2-v1）<br>竟然结果惊人的吻合。<br>我快糊涂了。<br></span></span><br>

lulijie

回复19＃<br>以人为参考系，狗的速度不是指向人，你把它分解成始终指向人方向的运动加上垂直该方向的运动，假设相遇所用的时间为T，始终指向人方向的运动的积分（T时间内），你认为刚好等于他们初始的距离L。我认为错误就发生在这里。因为垂直该方向的运动不能忽略掉，它的积分绝大多数情况下不等于0，必然使总运动偏离，而不能相遇。比如若人狗初始角度为钝角，那么垂直方向的运动速度分量，相互之间的角度全部在90度之内，它们不可能被抵消掉，它们的积分绝不可能等于0。因此在你所算的时间(指向人的运动的积分=L时的时间），绝对不是他们相遇的时间。<br>我举个例子，就能证明你这种看法是错的。<br>1个人向东以速度V1匀速运动，1条狗在人正北方向，相距r，以v2做顺时针匀速圆周运动，V2/V1=Pi/2&nbsp; (Pi为圆周率)，那么在时间 r/v1 后，人狗刚好相遇在人初始位置的正东距离r的地方。<br>以地面为参考系，在t时刻，狗做圆周运动，扫过的角度 θ=v2* t/r=Pi * v1*t/2r<br>以人为参考系，狗的运动是以v2做顺时针匀速圆周的运动和向西以V1速度运动的合运动。<br>把它分解为始终指向人方向的运动 和 垂直该方向的运动 的合运动<br>那么 始终指向人方向的运动 的速度 Vt 在t时刻为v1*sinθ ＝v1*sin(（Pi*v1/2r）*t)<br>按照你的看法，那么 Vt 对时间的积分（从t＝0 到 t= r/v1）应该等于它们初始距离r<br>而Vt 对时间的积分＝v1 * (2r / (Pi*v1))&nbsp; *&nbsp; (1-cos（Pi*/2))=2r/Pi&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 显然不等于r。<br>而按照它们相等所算出的时间也必然不是它们相遇时的时间。<br>

aizheming

貌似高中物理做过类似的题啊~~现在全忘了 回头自己推推吧~~呵呵

铯_猪哥恐鸣

题目意思的理解肯定没有错，因为确实有这么一道题。。。毕竟和这道题类似的题我已经做过至少5遍以上。关于这道题，结论一定不会错，感觉上的奇点，矛盾都是我们无法在现实中模拟这个物理模型导致的。。。当然这道题中的角度，我的理解可能有偏差。因为我刚刚看了去年舒幼生的讲义，发现有一道题和这个完全一样。那道题给了张图，是狗从后面追人。也就是说我在解答过程中的角度其实是题目中所说的角度的补角。所以分子上的减号应该变为加号，如果是讲义上的那道题的话因为狗是从后面追来的，也比较容易想得通。至于我理解后的题。。。确实就是这么回事，凭感觉去认为v2越大，一定越容易追上是不合理的

铯_猪哥恐鸣

因为狗的速度越大，他在垂直方向的速度也会越大，我们暂时无法估计这个速度的影响，但是结果告诉我们，这个速度的变大确实在更大程度上影响到了相遇的可能性