一个棱块不能单独翻转的超强解释

小波

不同品种的高阶魔方虽然具有不完全相同的内部设计构造，但是对外的效果是等价的。

我们如果把V5拆开来，可以发现其内部是最紧密构造的，观察它的翼块，如果把它拿出来并企图反向装回去，是不可能的，因为其构造不具有这样的对称性。那么，我们可以很快得出一个结论——五阶魔方的翼不能单独翻转，否则它将没有办法被装入魔方中。
R5和东5具有类似的力学构造。
再比如R4，拆起来比东4容易，棱块可以直接掰下来，我们可以发现，一条棱上的两个其实是不一样的，其中一个根本不可能反向装进去，也是因为没有这种力学构造对称性。于是我们又得出一个结论­——四阶魔方的棱不能单独翻转，否则它将没有办法被装入魔方中。

于是乎，我所谓的一个棱块不能单独翻转的超强解释，就不同于以往大家光从数学角度出发。

但是问题的严重性在于三阶魔方具有棱块的这种对称性，因此大家往往会装错。那么是否可以设计一种构造，使得三阶魔方的棱块根本连力学上都不能反装呢？又假如设计一种对称棱块的高阶魔方，我们还能从力学角度来判断出这个棱块不能单独翻色吗？

这个问题希望能和大家来探讨一下，我都不知道这个帖子应该属于构造板块还是理论板块了。

magi

乌木先生真的很强，又解开了我心中的一个疑问

乌木

1楼的题目不是要证明，只是要解释。我想，也许比证明容易一点（可能这种说法是不对的）。
我想，不必涉及三阶棱块可以出现错装色向的情况，即不用拆装魔方，只要在虚拟三阶或正确的实物三阶魔方上做些实验，好像也可以解释的。（在错装魔方上同样可以做这一实验，错装魔方的变换规律是一样的。此处用正确魔方只是为了更加直观、方便。）
从复原态出发（纯粹为了直观、方便），做(R MD)4 ，看看发生的变化；再接着做一遍(R MD)4 ，再看看魔方怎么了。
好，如果要保留刚才第一遍后那个“上右”位置上的棱块色向变化，同时恢复下两层为复原态，可以在上述两遍操作之间插入一个（比如）U' ，最后做一下U 。目的达到的同时，我们不得不接受顶层有两个棱块翻色了，有如“硬性搭卖”。否则，像第一个实验那样，哪个棱块都没有翻色！
这仅为蹩脚的解释，不能算证明的，但至少不必拆装魔方看什么内部结构不结构的。下面演示一下：
         
  
  
   
         
         
  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-6 09:54 编辑 ]

乌木

屏幕上玩的Puzzler等虚拟魔方，谈不上内部结构什么的，只要它的转动方式和实物魔方的完全一样，同样可以体现和实物魔方完全一样的变换规律。可见，起决定作用的与其说是魔方的内部结构，不如说是魔方运动的基本方式。比如，三阶魔方任一表层90度一转的结果只能是角块发生一个那样的四轮换、棱块发生一个那样的四轮换和中心块发生一个那样的90度自转。各表层的基本动作的某种组合，决定了不可能单单改变一个块的色向。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-29 19:38 编辑 ]

Atato

而对于楼主的问题.
我想最本质的最没用的回答是六轴魔方本身的结构决定了不能单棱原地转180度.
结构和理论是分不开的.但理论是深一层次的研究啊.
(未完.)

Atato

用坐标系来描述非中棱块如何?

乌木

上面比喻有个问题，这种棱块的和棱位的“左”“右”性质恐怕只是相对的。下图中，魔方取向改变后，（比如）那两个红绿棱块好像“左右”关系就变了。两者再随魔方取向变化而移动到了魔方的侧边时，两者变成上下关系了，且同样可以随魔方取向变化，而改变两者的上下关系。
所以，究竟如何描述非中棱块的色向问题，还得请行家指点。
   

乌木

此外，楼上图中左上方的小图为例，这个红绿棱块所在的棱位换以另一红绿棱块的话，后者的色向一定与图示的相反。
这就意味着，棱位本身暗含着一种决定棱块色向的性质，而棱块本身又有自己的色向性质（不在于其机械构造）。两者或相合，或相反，这就决定了一个棱块在一个棱位上具有唯一的色向。
以上都指非中棱块。

想到一种比喻，不知妥否。
那两个棱位好比两个白纱手套（任一个手套左手右手都可以带），但是摆放得死死的，比如一左一右靠在一起的两个手套的大拇指是相互接近的，小指是相互远离的。我的一双手要插进去的话，只能有两种方式：
1、右手手背向上插进右边的手套，左手手背也向上插入左边的手套；
2、右手手心向上插入左边的手套，左手手心向上插进右边手套，两个手臂是交叉着的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-12 22:25 编辑 ]

乌木

例如，下面是同一四阶魔方的同一个棱块在24个棱位上的色向情况（假定另一个红绿棱块已经被贴成灰色，也不管这灰色棱块在何处，与下图无关），可见，这个棱块的红色色片向上、向下、向左、向右、向前和向后的位置数都只有确定的4个。比如，要它的红色色片向下，当然要调动到底层，但是底层的8个棱位之中，只有如图所示的4个棱位能使它红色色片向下，它到了这4个棱位的共同点是红色色片都向下，区别是其绿色色片分别朝向前后左右4个方向。所以，比如，图中这个棱块，既要其红色色片向下，又要其绿色色片向左，那么，在24个棱位中，唯一的一个棱位可以满足这要求。也就是说，它在24个棱位上，没有两处色向是完全一样的，它在魔方中游历时共有24种色向！


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-12 20:33 编辑 ]

乌木

以四阶的24个棱块为例，认定某一棱块，它虽然可以调动到另外23个棱位，但只能“入乡随俗”－－到哪个位置，都只能取两种色向之一。再比如，紧挨着的两个棱块，可以互换，但是换好之后，两者必定都翻色。如果两个棱块是一样的棱块，这样互换并翻色的结果，表观上好像三阶的单独一个棱块翻色了，实际上是互换后各自翻色。

观察一个棱块在另外23个棱位上的色向，最简单的方法之一是认住这个棱块，分别做
1、CU2 CR'，
2、CU，
3、CU' CF'，
4、CU2，
5、CR，
6、CU'，
7、CU CF，
8、CF'，
9、CF CU，
10、CF' CU，
11、CF CU2，
12、CF' CU2，
13、CF CU'，
14、CU' CR'，
15、CF，
16、CR'，
17、CF2，
18、CR' CU，
19、CF2 CU，
20、CU2 CR，
21、CR2，
22、CF CR'，
23、CF2 CU' 。

连同它在原处的色向，你可以把24个棱位上它的色向规律小结一下。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-11 19:22 编辑 ]