一道方程题

华容道

WenZhouRen

设 f(x)=3ax^2+2bx+c
f(0)=c
f(1)=3a+2b+c
用f(0)和f(1)的值异号，是可以证明0和1之间必有一解。
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但若f(0)和f(1)的值同号，不能排除无解。 这种情况：  若0<-b/3a<1 ，f(-b/3a)与f(0)异号，照样有解（有两解）
                                                                                         f(-b/3a)是f(x)的极值。
证明如下：
若f(0)和f(1)的值同号：那么a、c必同号。
f(1)=3a+2b+c=2a+b
f(0)=-(a+b)
f(0)*f(1)=-(a+b)(2a+b)>0   
所以   a+b>0且 2a+b<0       第一种情况
     或   a+b<0且 2a+b>0       第二种情况
   第一种情况   得出a<0，  1/3 < -b/3a < 2/3
    第二种情况   得出a>0，  1/3 < -b/3a < 2/3
无论哪种情况，f(x)取极值的x = -b/3a    都在1/3和2/3之间，即在0和1之间。
而
f(-b/3a)=b^2/3a-2b^2/3a+c=-b^2/3a-a-b=-1/3a *(b^2+3ab+3a^2)=-1/3a * (  (b+1.5a)^2+0.75a^2  )
因为a 和 c 同号，所以
         f(0)*f(-b/3a)=c *  (-1/3a )* (  (b+1.5a)^2+0.75a^2  )<0   
因此 f(x)在0  和1 之间有两解。

kexin_xiao

魔方吧又有新区了——作业辅导

FairyTale_WL

明白了.
不过题设是要证必有一根在0.1之间,如果2根都在0.1之间那也没有问题吧.

lujing_88

6楼证明有误
方法上 有根在0和1之间 和 根在0和1之间 这两个是不同的概念
步骤上 最后一步 bc异号无法导出-bc-2c*c<0
总的来说 6楼漏了一种情况 那就是两个根都在0和1之间 此时t是大于0的 可偏偏又证明出tt恒小于0 -。-

FairyTale_WL

我一时没有明白过来，你说是t<0的问题具体是指？
另，f0和f1乘积为负，说明0和1之间有一个根。如果f0和f1相乘为正，那结论也可能是0和1之间没有根。

[ 本帖最后由 wl325 于 2009-4-11 21:16 编辑 ]

华容道

谢谢你！可是最后一步证明t＜0时好像有问题，对于本题来说f(0)与f(1)的积可能为正数，此时两根都大于零小于1

FairyTale_WL

看下图............
图中有2个字错误,不好意思,"主题"改为":证明"

[ 本帖最后由 wl325 于 2009-4-11 17:45 编辑 ]

qxsbnm

这应该是二次函数的题吧，前阵子参加数学竞赛天天和类似的题打交道

华容道

能给出一个详细一些的过程吗？谢谢！