请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？

lsx

请教：如何证明三阶魔方不可能发生2对换？

首先，我可以告诉大家，我的水平虽说在这里不算怎么样（sub31），但也应该可以说脱离了入门阶段了，所以可以

讲得不用那么详细。

请问应如何证明三阶魔方在初始状态按其玩法玩的条件下不可能出现仅一对块发生对换？（下面均讨论3阶）
类似的帖子我看到过了（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3386），其中对这个问题的回答的大概意思

是“这是显然的，熟悉魔方的人都有这个常识”，但我不满意这个答案，虽然我知道因为某种原因这种情况，而且

我还知道如果一个打乱的三阶魔方经过偶数次对换后（即使把中心块想成可以自由移动的仍然成立）能够复原的话

，那么它就能复原（所有位置），反之不能，而且我还知道对于魔方的任何基本操作都可以等效为偶数次对换（包

括Rrx什么的只转一下的步骤），我认为要推出魔方不可能发生奇数次对换的原因是“魔方的任何基本操作都可以等

效为偶数次对换”，但我不知道如何证明。

我在百度魔方吧发过类似的帖子（http://tieba.baidu.com/f?kz=561333972），有人向我作出以下回答，如果您也

想作出这样的回答，那么我先回复：

“作为公设的话还是有道理的..毕竟是显然的.”
“这条定理并不是显然正确的，像六个中心块不会动，角不可能到棱的位置上才是“显然”的，就像“过直线外一

点有且只能作一条平行线”，这就不是正确的，证明一件事可行，做出来就可以了，证明一件事不可行，要证明才

可以啊。”

“从正确状态下出发.无论怎么转。魔方的操作都是可逆的。所以…………”
“虽然的确没有转出过两对换，但是，在证明它之前就不能说它“就是”不可以，比如SQ1和高阶魔方，我会之前遇

到了两对换，我就认为这是因为魔方被人拆过，因为当时有三阶的基础，可后来我才发现不是（其实我觉的有向奇

数高阶不可以两对换），就是说在完整证明之前，逻辑可能（拆了后装上）的都不能说它一定转不出来。这么说吧

，费马大定理，你能说因为找不到解就说它不可能吗？这样吧，退一步，我看看您能否详细证明三阶魔方在初始状

态按其玩法玩的条件下不可能出现仅一角或一棱角不对？”
“跷跷板原理只说明了按正常方式打乱的魔方一定能还原，没有说明按正常方式打乱的魔方不可能出现不符合翘翘

板原理的情景。”
“跷跷板原理详细阐述了魔方的解法，解法的完备性和魔法的组合数的计算过程，可是并没有证明跷跷板原理的正

确啊，MS只是把它作为一个公理来运用的，而我想问的正是如何证明跷跷板原理的正确啊，而不是问由跷跷板原理

得出的推论有哪些啊。”

回帖前请看帖，谢谢。

Atato

LZ解决问题连公理都没有.如何解决问题..

Cielo

回楼上乌木先生：
是可以把棱、角块一起考虑的，此时表层转动90°意味着发生了两个不相交的 4-轮换，这是一个偶置换，所以块位置的状态只可能是偶排列（棱角一起考虑），
而仅仅只有两块对换是奇排列，所以是不可能出现的啦！


答楼主问：

原帖由 lsx 于 2009-4-26 16:49 发表
于是证题可以简化为：『有n个元素，各有自己的位置，试证明经过奇数次置换后不可能恢复到初始状态』

你知道奇排列和偶排列的定义吗？（就是利用逆序对的个数啊）

从初始状态出发，经过奇数次置换（我估计楼主说的置换就是对换吧）会变成奇排列，而初始状态是偶排列，所以不可能恢复了。

乌木

一个三阶纯色魔方要交换两个角块（另6个角块不动位置）完全可以，但一定伴生棱块有奇数个（位置）偶循环。由于是纯色，同时也一定伴有的中心块的变化（奇数个中心块转过90度）显示不出。
所以，探讨本帖题目时，不能仅仅看同一类块（即你说的“有n个元素，各有自己的位置…………”），必须三类不同性质的块（角块、棱块和中心块）同时考察。除非只要求（比如）三个角块轮换一下，并保持棱块和中心块不变，那就可以只看角块变化。但这不是本帖要探讨的题目了。

smok

逆序对方法只能证明一个簇奇偶变换问题，关于三阶为什么不能发生独立二棱对换，上面恐怕连思路都错得十万八千里，这是扰动问题，只要明白扰动关系是如何构成，你就会明白为什么不能发生二棱对换，这样讨论的陈年老贴实在太多

lsx

于是证题可以简化为：『有n个元素，各有自己的位置，试证明经过奇数次置换后不可能恢复到初始状态』

lsx

13，14楼：谢谢你说了这么详细，但是首先，我有一定的魔方基础，可以不用这么详细（我没说写得详细这不好哈~）；其次，你的想法（或者说这篇文字的原创者的）我也想过，但是我认为这论证的不够，因为，比如说U吧，它会使角簇排列变成奇排列，因为，角簇可以（请注意这个用词）用奇数次置换后复原，于是我们称之为奇排列，可是，如何证明奇数次置换不可以（请注意这个用词）用偶数次置换复原？
另外，我知道如果一个魔方经过偶数次置换后可以复原（对于奇数阶魔方，而且可以推广到中心块移动，比如M，这样就可以不必以中心轴为坐标了），那么它就是可以复原的，但是我不知道如何证明可以用奇数次置换还原的魔方（如果阶数大于3，那么中心块要是有向的）不可以用偶数次置换还原？
谢谢

lsx

7楼：这不是反证，而且也不是试验论证，我在一楼说了：“费马大定理，你能说因为找不到解就说它不可能吗？”魔方，你能因为说“我转了，转了半天也没转回去”，于是就得出结论：“这个魔方不可复原”吗？
谢谢

Cielo

这个问题都被问了好多遍了

13、14楼的回答很好！

kexin_xiao

坐地上学习一下