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一道古老的几何题 [复制链接]

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发表于 2009-8-10 23:49:55 |只看该作者 |正序浏览

最近看了几个比较有意思的几何题，但是图没有画出来，只匆忙地画出了下面这个。

已知ABCD是圆的任意一个内接四边形，求证：AB×CD + AC×BD = AD×BC

这里乘法是线段长度相乘。

这个古老的问题归功于古希腊数学家和天文学家托勒密，他给出了一个很巧妙的解答，
然后利用这个定理计算出了很多三角函数的值，这对天文学的观测意义重大。
搞过奥数的同学有可能做过这样的题目，不过我所看到的证明并不是纯几何的，而是
利用了一些复数的知识。

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发表于 2009-8-11 08:39:34 |只看该作者

这是托勒密定理，奥数书上见过，用相似来证

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发表于 2009-8-11 08:08:42 |只看该作者

在AD上取E使得△ACD∽△AEB，可以证明△ABD∽△CED，然后用比例关系稍微计算一下就出来了。

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发表于 2009-8-10 23:57:21 |只看该作者

这个叫托勒密定理貌似～～～～～
初中就证明过～～～～
方法貌似是在AD上取点，构造相似～～～～～
分两部分证明，两相似即可～～～～～～

进攻就是最好的防守！

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