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一道古老的几何题 [复制链接]

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发表于 2009-8-10 23:49:55 |只看该作者 |倒序浏览
最近看了几个比较有意思的几何题,但是图没有画出来,只匆忙地画出了下面这个。

已知ABCD是圆的任意一个内接四边形,求证:AB×CD + AC×BD = AD×BC

这里乘法是线段长度相乘。

这个古老的问题归功于古希腊数学家和天文学家托勒密,他给出了一个很巧妙的解答,
然后利用这个定理计算出了很多三角函数的值,这对天文学的观测意义重大。
搞过奥数的同学有可能做过这样的题目,不过我所看到的证明并不是纯几何的,而是
利用了一些复数的知识。

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发表于 2009-8-10 23:57:21 |只看该作者
这个叫托勒密定理貌似~~~~~
初中就证明过~~~~
方法貌似是在AD上取点,构造相似~~~~~
分两部分证明,两相似即可~~~~~~
进攻就是最好的防守!

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中国纪录 八年元老

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发表于 2009-8-11 08:08:42 |只看该作者
在AD上取E使得△ACD∽△AEB,可以证明△ABD∽△CED,然后用比例关系稍微计算一下就出来了。
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发表于 2009-8-11 08:39:34 |只看该作者
这是托勒密定理,奥数书上见过,用相似来证

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