损坏的计算器

yang_bigarm

刚在一本书上看到一个和有意思的题目。

-----------------------------------problem-------------------------------------------
有一个科学计算器，它上面的大部分按钮都失灵了。只有Sin Cos Tan ArcSin ArcCos ArcTan
这6个按钮是有好的。计算器安好电池之后显示的数字是0。

问：能否只按这6个按钮有限次而得到任意一个有理数 p/q

例如要得到1，就按 ArcCos(0) = 1

注意：这里假定所有的计算都是具有任意精度的，也就是Sin(ArcCos(1/2))=sqrt(3)/2没有浮点舍入的误差。

erictrui

我建议再买一个计算器吧……

谢老师

绞尽脑汁！限制条件多啊！

yuanzesong

我数学不好~~~~我遇到这种情况会买个新的    你们继续研究题~~·我飘过

a626954762

晕啊.................

yang_bigarm

哈哈，类比辗转相除法，金眼睛的解法正中下怀啊！
我一开始也是不断地尝试各种组合，后来发现一个sqrt(2/3), sqrt(3/5), sqrt(8/5)....
这样的序列，让我联想到了辗转相除法。

负数的我也没有想出来。

superacid

可以去医疗服务区

魔导师淩少

天。。。。。。。。我疯了      医院在哪？

金眼睛

计算过程无非是这些函数的一种序列，首先进行两两组合，发现下面几个有用的公式：
1、sin(acos(x))=cos(asin(x))=1/sqrt(1-x^2)；2、cos(atan(x))=1/sqrt(1+x^2)；3、tan(asin(x))=x/sqrt(1-x^2)；
4、tan(acos(x))=sqrt(1-x^2)/x；5、sin(atan(x))=x/sqrt(1+x^2)；

再对这些公式进行组合，可以得到更为实用的两个公式：6、公式2带入3或者5带入4，可得1/x；7、公式5带入1可以得到sqrt(1+x^2)。

cos(0)=1，故用7式数次我们可以得到sqrt (n)，n为正整数，故全部正整数n也可以通过n^2获得，再通过公式6，1/sqrt(n)及1/n易得。

考虑任意的有理数p/q，观察公式7： x->sqrt(1+x^2)，是一个把根号下真分数化根号下带分数很好的工具，而且有公式6做保证，自然想到辗转法。

举例说明：例如要求5/3，我们来倒推一下，计算5/3=sqrt(25/9)=sqrt(1+sqrt(16/9)^2)，也就是说，我们需要预先得到sqrt(16/9)，这样

sqrt(16/9) -> sqrt(7/9) -> sqrt(9/7) -> sqrt(2/7) -> sqrt(7/2) -> sqrt(5/2) -> sqrt(3/2) -> sqrt(1/2) = 1/sqrt(2)

前面已经知道，1/sqrt(n)是可以获得的，所以任意的正有理数p/q都可通过此法获得，不过这种方法对于负值不适用，我也没想出来负值怎么做。

[ 本帖最后由 金眼睛 于 2009-9-25 21:23 编辑 ]

phileas

正有理数都是可以得到的。
可以用数学归纳法证明更强的命题：对任意自然数p,q，sqrt(p/q)都是可以得到的。

只要注意三个公式就可以了：
公式一：sin( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b + a) )
公式二：cos( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( b / (b + a) )
根据以上两个公式，对q进行归纳，可以证明，当p<q时，sqrt(p/q)是可以得到的。

公式三：tan( arcsin( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b - a) ) ，其中 a < b
根据这个公式，显然，当p > q时，sqrt(p/q)也是可以得到的。

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负有理数不知道怎么搞。
arcsin( cos(2) ) = pi/2 - 2
arctan( tan(2) ) = 2 - pi
不过不知道怎么把里面的pi去掉

[ 本帖最后由 phileas 于 2009-9-24 21:04 编辑 ]