损坏的计算器

yang_bigarm

刚在一本书上看到一个和有意思的题目。

-----------------------------------problem-------------------------------------------
有一个科学计算器，它上面的大部分按钮都失灵了。只有Sin Cos Tan ArcSin ArcCos ArcTan
这6个按钮是有好的。计算器安好电池之后显示的数字是0。

问：能否只按这6个按钮有限次而得到任意一个有理数 p/q

例如要得到1，就按 ArcCos(0) = 1

注意：这里假定所有的计算都是具有任意精度的，也就是Sin(ArcCos(1/2))=sqrt(3)/2没有浮点舍入的误差。

战斗机

天知道啊！你搞计算机入迷了吗？

Zeon.C

恩…我蒙可以得…做不出阿…

victormagic

从值域来看是可以的 方法不明

Cielo

原帖由 yang_bigarm 于 2009-9-22 23:31 发表
例如要得到1，就按 ArcCos(0) = 1 ...

应该是Cos(0)=1

题目不会做……

lulijie

cos0=1
用f(x)表示sin(arctan(x))
g(x,k)表示f(f(f(...)))      k个嵌套f 函数。
那么 g(1,3)=f(f(f(1)))=sin(acrtan(sin(arctan(sin(arctan(1))))))=1/2
         g(1/2,5)=1/3
         g(1/3,7)=1/4
         g(1/4,9)=1/5
          ......
        g(1/n,2n+1)=1/(n+1)    即  g(1,n^2-1)=1/n

lulijie

h(x)=f(cos(arctan(x))
那么
h(1/2)=2/3
g(2/3,4)=2/5
g(2/5,6)=2/7
g(2/7,8)=2/9
......
g(2/(2k-1),2k)=2/(2k+1) ，即 g(2/3,(k-1)(k+2))=2/(2k+1)

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-24 01:34 编辑 ]

superacid

负数怎么办？

lulijie

设：w(x)=Tan(acrcos(f(x))
那么  w(1/x)=x
比如  w(1/2)=2
        w(1/3)=3
        w(2/3)=3/2
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这样对于任意正整数n，  可通过   w(g(1,n^2-1))  获得。
对于p/q，   p、q都是正整数，且其中至少有一个为1或2。都可以通过以下获得：
    cos(0)=1
    g(1,n^2-1)=1/n
    h(1/2)=2/3
    g(2/3,(k-1)(k+2))=2/(2k+1)
     w(1/x)=x
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对于负号可以通过比如cos(2)、sin(4)等获得。
但对于比如-1/2如何获得，即其他p/q如何获得，还在考虑中。大家也想想有什么办法。

phileas

正有理数都是可以得到的。
可以用数学归纳法证明更强的命题：对任意自然数p,q，sqrt(p/q)都是可以得到的。

只要注意三个公式就可以了：
公式一：sin( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b + a) )
公式二：cos( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( b / (b + a) )
根据以上两个公式，对q进行归纳，可以证明，当p<q时，sqrt(p/q)是可以得到的。

公式三：tan( arcsin( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b - a) ) ，其中 a < b
根据这个公式，显然，当p > q时，sqrt(p/q)也是可以得到的。

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负有理数不知道怎么搞。
arcsin( cos(2) ) = pi/2 - 2
arctan( tan(2) ) = 2 - pi
不过不知道怎么把里面的pi去掉

[ 本帖最后由 phileas 于 2009-9-24 21:04 编辑 ]