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正十二面体二面角问题 [复制链接]

Paracel_007

铜魔

007

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电梯直达

1^#

发表于 2009-11-15 17:38:29 |只看该作者 |正序浏览

正十二面体相邻两面的二面角:pi+arctan(-2)
我算出来了，但方法很复杂，有很麻烦的三角化简(也可能我化简的方法不对

)
谁有简单的方法说下？谢谢！

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ZJY

透魔

小朱

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7^#

发表于 2009-12-27 20:27:44 |只看该作者

哇，貌似很复杂----------

湖南大学炫舞魔方社前任社长

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lulijie

红魔

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6^#

发表于 2009-11-17 00:26:31 |只看该作者

或者直接利用cos72°=1/(1+√5)
得 cos∠AHC=-cos72°/(1-cos72°)=-1/√5

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lulijie

红魔

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5^#

发表于 2009-11-17 00:13:25 |只看该作者

利用余弦定理即可
设边长为1，A、C在BD上的垂足为H。
那么所求的二面角就等于∠AHC.
因为：
AH=CH=sinλ
AC^2=(1+1-2cosλ)=2-2cosλ
所以cos∠AHC=(AH^2+CH^2-AC^2)/2AH*CH=[(sinλ)^2+(sinλ)^2-(2-2Cosλ)]/2(sinλ)^2=(Cosλ-Cosλ^2)/(1-(cosλ)^2)
= cosλ/(1+cosλ)=cos108°/(1+cos108°)=-cos72°/(1-cos72°)
------------------------------------------------------
若要化简，那么如下：
(tan∠AHC)^2=（1-2cos72°）/(cos72°)^2
因为cos36°-cos72°=1/2，所以1-2cos72°=1-2（cos36°-1/2)=2-2cos36°=2(1-cos36°)
又因为 (cos72°)^2=1/2*(1+cos144°)=1/2*(1-cos36°)
所以 (tan∠AHC)^2=4
因此：∠AHC=Pi-arctan2

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