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正十二面体二面角问题 [复制链接]

Paracel_007

铜魔

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电梯直达

1^#

发表于 2009-11-15 17:38:29 |只看该作者 |倒序浏览

正十二面体相邻两面的二面角:pi+arctan(-2)
我算出来了，但方法很复杂，有很麻烦的三角化简(也可能我化简的方法不对

)
谁有简单的方法说下？谢谢！

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superacid

银魔

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2^#

发表于 2009-11-15 17:46:40 |只看该作者

不就是一个三面角公式么...

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mf8最少步讨论群：RP与公式的绝佳配合QQ群5652935

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Paracel_007

铜魔

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3^#

发表于 2009-11-15 20:11:34 |只看该作者

我不知道那个公式啊

~~
写下吧，谢谢！
我立几不好啊

魔方收藏群 123380874

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Paracel_007

铜魔

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4^#

发表于 2009-11-15 20:20:12 |只看该作者

呃……公式找到了……不过算起来很烦

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lulijie

红魔

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5^#

发表于 2009-11-17 00:13:25 |只看该作者

利用余弦定理即可
设边长为1，A、C在BD上的垂足为H。
那么所求的二面角就等于∠AHC.
因为：
AH=CH=sinλ
AC^2=(1+1-2cosλ)=2-2cosλ
所以cos∠AHC=(AH^2+CH^2-AC^2)/2AH*CH=[(sinλ)^2+(sinλ)^2-(2-2Cosλ)]/2(sinλ)^2=(Cosλ-Cosλ^2)/(1-(cosλ)^2)
= cosλ/(1+cosλ)=cos108°/(1+cos108°)=-cos72°/(1-cos72°)
------------------------------------------------------
若要化简，那么如下：
(tan∠AHC)^2=（1-2cos72°）/(cos72°)^2
因为cos36°-cos72°=1/2，所以1-2cos72°=1-2（cos36°-1/2)=2-2cos36°=2(1-cos36°)
又因为 (cos72°)^2=1/2*(1+cos144°)=1/2*(1-cos36°)
所以 (tan∠AHC)^2=4
因此：∠AHC=Pi-arctan2

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