猜数问题

Cielo

A随意在两张纸上各写下一个实数（两数不相等），然后把纸分别放入两个一样的信封。
B通过抛硬币来随机选择其中一个信封打开，把里面的数给你看。
现在你要猜：另外那个信封里的数比你看到的数大还是小。

请问：是否存在一个猜的策略，使得不论A写哪两个数、B选到哪个信封，你猜对的概率都大于50%？

小明的马甲

(1/2)*(1-p) + 1*p
求解释

Cielo

哦是的，一开始没看清，确实是对的

yq_118

原帖由 Cielo 于 2010-5-22 01:29 发表 回楼上：呵呵没说z一定是随机变量，只是让A随意写两个数而已，这还是可以做到的吧？所以楼上上需要考虑一下小明提出的问题，这个p难道等于区间长度除以无穷？（不过能这么快想到这里还是非常佩服的！）

z是按标准正态分布给出的，假设x<y，那么z∈(x，y)的概率为p=Φ(y)-Φ(x)>0。

像标准正态分布这类分布的特点是，每一点的概率密度大于0，显然不可能每一点的概率密度相等，必然在z趋于无穷的时候概率密度趋于0。

任何一种实轴R上的分布，只要满足每点的概率密度为正，都可以达到题目的要求。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2010-5-22 02:17 编辑 ]

小明的马甲

恩。。所以我正在想是否存在一个策略使得对于任意分布函数都可以使得获胜概率大于50%

Cielo

回楼上：
呵呵没说z一定是随机变量，只是让A随意写两个数而已，这还是可以做到的吧？

所以楼上上需要考虑一下小明提出的问题，这个p难道等于区间长度除以无穷？
（不过能这么快想到这里还是非常佩服的！）

小明的马甲

既然是C罗提出的问题，刚好我最近在学概率论，不妨就说一下我的看法（估计我的回答会让大家失望= =）

我的看法是：题意不清。首先在做这道题之前必须明确“随机写下一个实数”的意义。通常的理解，或者大家普遍认为的想法是：对于任意区间(x1,x2)，随机变量z属于该区间的概率正比于区间长度。
设z的概率分布函数为F(z)，满足：F(-无穷)=0，F(+无穷)=1，F(z)单调递增。
设F(0)=a，则可以证明，F(-无穷)=F(+无穷)=F(0)，与假设矛盾，故不存在上述意义下的随机变量z。

yq_118

另一个方法，设A写的两个数是x和y 。
先按某种随机方法生成一个随机实数z (例如按标准正态分布)。
z介于x和y之间的概率为p，p>0 。那么猜对的概率就是  (1/2)*(1-p) + 1*p = 1/2+p/2 > 1/2。
这是严格大于1/2的。

总之，只要保证前面生成的随机数的方法的概率密度在每一点都大于0，那么就可以保证猜对的概率严格大于1/2 。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2010-5-21 16:41 编辑 ]

yq_118

先看这个方法：看到正数(或0)就猜比另一个大，看到负数就猜比另一个小。

如果A写了两个正数(或0)，那么按这种方法猜对猜错取决于B丢的硬币，各为1/2。
如果A写了两个负数，还是为1/2。
如果一个为正数(或0)，一个为负数，那么猜对的概率为1。
总体说来，猜对的概率超过1/2。

Cielo

原帖由 阳光下的幽灵 于 2010-5-21 08:16 发表
这不就是以前BBC的一档节目嘛，其实看跟不看概率是一样的

呵呵这题我也是在别的网站上看到的，原来BBC做过了……
还是请之前就知道答案的魔友们暂时不要发答案吧，让大家多思考一下

我当时看帖的时候，因为答案就写在问题下面，一不小心看到了
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补充说明：
A选数的时候是随意的，但题目要求里有一句“不论A写哪两个数”，

原帖由 yq_118 于 2010-5-21 11:51 发表
不过既然是实数上的分布，那么概率密度随绝对值增大趋向于0。
看到正数就猜比另一个大，看到负数就猜比另一个小。
这样猜对的概率或许大于1/2.
...

这样如果A写的1和2，我看到的是1，1是正数，这样我猜1比另外那个数大，必定猜错。

楼上的第二个想法很好！但是能严格证明大于50%吗