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三阶魔方奇偶问题 [复制链接]

银魔

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四年元老

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发表于 2010-12-21 21:44:58 |只看该作者 |正序浏览
最早接触奇偶是在学盲拧的时候,奇偶变换,凡是奇数个块循环,总能分解成三循环完成,而偶数个块则会生下一个对换,若分解成对换,则三循环是两个…n循环是n-1个。由于在三阶魔方里,不能单独调换两个块,所以最后若棱块和角块都剩下一对,那么就无法用三循环公式还原,要用角对换+棱对换的公式。如果把 R2 算作两步,数一数可以发现三循环的公式都是偶数步,奇偶变换的公式都是奇数步。
把一个三阶魔方转U,发现是一个棱四循环+角四循环,奇偶性改变,所以三阶转奇数下奇偶改变,转偶数下不变,有奇偶变换。
五魔方转U,发现可以用三循环还原回来,永远是偶状态,没有奇偶变换。

二阶、四阶、空心三阶等魔方单独换两个块是允许的,所以根本谈不上奇偶。

分析原理,
五魔方一次转动产生四个棱对换和四个角对换,都是偶数,所以只有偶状态。
三阶的一次旋转产生三个棱对换(四循环分解)和三个角对换(中层转的时候是三个棱对换和三个心对换),分别都是奇数,总和是偶数。有奇偶变换。
二阶只有角块,一次旋转产生三个角对换,是奇数,没有奇偶。
空三转中层时只有三个棱对换,是奇数,没有奇偶。
四阶中层旋转三个棱对换六个心对换,是奇数,没有奇偶。
偶数高阶同理。
五阶魔方以及奇数高阶都和三阶一样,有奇偶变换。(也许有人会不以为然,五阶可以像四阶一样换两个边棱快,但是要注意了,这时候有两个边心块也会互换,所以那两个棱块不是单独换的。)

综合一下有奇偶变换的转面魔方有个特点,偶数边形,奇数阶,不缺块种。

不符合的有:五魔方、八面体、金字塔是五边形和三角形,奇数边形; 二、四阶…是偶数阶;空心缺心块、唯棱缺角块块种不全。

[ 本帖最后由 Fenz 于 2010-12-21 22:36 编辑 ]

透魔

有空了学学4D二阶

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发表于 2010-12-26 00:11:10 |只看该作者
原帖由 Fenz 于 2010-12-25 11:12 发表
啊好像SQ,我还想着怎么把这个中心块的空间给挤掉呢,结果还真有人做到了,想看看其结构,乌木兄能解剖一下吗?


这个的结构应该就是普通三阶啊。

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发表于 2010-12-25 15:03:19 |只看该作者

回复 20# 的帖子

我没有这种“无心魔方”实物,照片是那67650号帖子中的。图中L层可以那样转,别的表层应该可以同样转法。打乱后应该和空心魔方一样有50%的概率出现单单两个块要交换的情况,我想,对吧?
如果哪位要利用普通三阶MOD这种魔方,建议先把六个中心块弄得无区别,这样,它们平时隐藏在内部,在魔方转动时即使看得到一点原来的中心块,也是没有参照作用的。

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银魔

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四年元老

20#
发表于 2010-12-25 11:12:54 |只看该作者
啊好像SQ,我还想着怎么把这个中心块的空间给挤掉呢,结果还真有人做到了,想看看其结构,乌木兄能解剖一下吗?

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发表于 2010-12-24 16:27:21 |只看该作者
嗯,也许我把问题搞复杂了。本来三阶空心含有简化问题的意义,我再把中心块请回来,犹如搞“复辟”了。

二阶、唯棱的基元动作是表层90°一转,发生四个块的轮换,相当于三个二交换。如果初态是复原态(系统为偶性),做一下基元动作后,系统切换为奇性了。这就是二阶、唯棱魔方之所以有单单一个二交换的根本原因。

在三阶空心系统中,如果只考虑表层90°一转的话,角块和棱块都发生一个四轮换,就无法解释单单两棱交换的现象。应该把空心三阶的中层90°一转也作为基元动作之一。好,这样一来,发生四个棱块的的轮换,这就是空心三阶允许单单两棱交换的根本原因。至于单单两角交换,只是棱块簇状态和角块簇状态之间的简单转换而已。
此处,不必请回中心块,只要改用环境为参照物即可。
----------------------------------------------------------------------------------------------
刚才看到这种魔方(http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?tid=67650&goto=lastpost#lastpost),即使把中心块请回来,也会变成“居无定所”者啦:
    新型魔方.JPG

比起“空心魔方”来,这种“无心魔方”精简得更彻底了!

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-24 18:39 编辑 ]

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银魔

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四年元老

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发表于 2010-12-24 13:01:03 |只看该作者
原帖由 乌木 于 2010-12-23 19:56 发表 通常见到的“空心魔方”和二阶、四阶等还有所不同,后者可以理解为三阶、五阶的某些块完全坍缩为“零”尺寸,连原来块所占据的空间都不留下,所以可以说不存在那些块。但是空心魔方就不同,有的空心魔方的“中心块” ...

同一个事物用不同观点看就会不同,也不可能争论出谁对谁错的结果来。我并不反对乌木兄的观点,只是想说换一种观点,能看到更多东西。
按照乌木兄的观点,空心魔方只不过是中心块颜色被遮住的三阶魔方罢了,但按照我的观点,它是不同于三阶,和唯棱并列的全新系统。

关于空心魔方的轨道,我想说它就像二阶魔方中间的棱块,它只是机械辅助物,不属于魔方的块。以我的观点,魔方的块是变换的主体,且各种块平权,而除了块以外的东西不予考虑。至于是否留下空位的问题我认为不重要,一个只贴了角块的三阶完全可以作为二阶来玩吧。

我也只是提供一个观点,没有争论对错的意思。有一点我还是比较执著,三阶—二阶、三阶—空心是可以类比的。

PS. 玩空心的时候喜欢用角先或桥式

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发表于 2010-12-23 20:12:14 |只看该作者
原帖由 洛阳狼王 于 2010-12-23 16:10 发表
三阶有偶数情况吗?

有,比如从复原态出发,中心块和棱块不变,做一下三角轮换,由于三轮换就是两个二交换的叠加,两个二交换是偶数,所以单单角块的三轮换就是偶数(次二交换)。

也可以把三阶的复原态作为例子,复原态就是零次二交换,零是偶数。

顺便说说,三阶角块有一个二交换,棱块也有一个二交换,各自为奇数(次二交换)情况,也是正常的。
一簇奇数次二交换,另一簇偶数次二交换,就是错装态了,复原不了的了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-23 20:20 编辑 ]

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发表于 2010-12-23 19:56:16 |只看该作者
通常见到的“空心魔方”和二阶、四阶等还有所不同,后者可以理解为三阶、五阶的某些块完全坍缩为“零”尺寸,连原来块所占据的空间都不留下,所以可以说不存在那些块。但是空心魔方就不同,有的空心魔方的“中心块”还是有物理结构的,缩在内部,外部看不出,相当于原来三阶的中心块变形为一种两头通透的零件。此外,还去掉了中心轴,改用轨道结构。(参见http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=62175&extra=page%3D7,下图是该帖的一图。)

空心魔方拆解.JPG

此外,原来三阶中心块位置的空间还保留着,这一点非常要紧。不妨假想六个小立方体形的空间在空心魔方运动时,被转层的四个棱块裹挟着一起运动,空间代替了原来三阶的中心块。这样,空心魔方的变化和普通三阶魔方六个中心块贴上同色色片(或去掉六个中心块盖子)后的变化就完全一样了。不仅如此,还和“有心三阶”的变化规律完全一样!
所以,我想,空心魔方和普通三阶可以同样看待,比如,两者分别做同一个空心魔方专用的两棱交换公式,变化的实质是一样的--除了两棱交换外,隐性中心块或显性中心块都有奇数个90°整体转,而角块就可以脱身不掺乎进来了,中心块成了角块的“替罪羊”了。
如果空心魔方顺利复原到底,没用到空心魔方的特殊公式,说明其隐性中心块组相对于复原态的中心块组整体转过了偶数次90°,所以不可能出现单单两棱交换的要求了。
普通三阶的一个变化规律是不能单单交换两个块,是有前提的--中心块不动;一旦中心块可动,再加上中心块看不出或无区别,普通三阶的这一规律就有不同的表现了,就有机会出现空心魔方的所谓特殊现象了。这里隐含着参照物变更这一釜底抽薪般的、变魔术般的“陷阱”。
不妨来做个小实验,把六个中心块临时用白纸贴掉,变成一个和空心魔方一样性质的魔方,打乱,如果把它复原时出现单单两棱要交换的情况,揭开白纸,相对于中心块组,重新查看角块、棱块的位置变化情况,你还会说这状态是单单两棱要交换吗?

总之,我认为,空心魔方的所谓“单单两棱换”是假象。

[ 本帖最后由 乌木 于 2010-12-25 19:50 编辑 ]

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铜魔

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发表于 2010-12-23 16:10:14 |只看该作者
三阶有偶数情况吗?
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发表于 2010-12-23 15:49:13 |只看该作者
原帖由 乌木 于 2010-12-22 19:04 发表 三阶魔方的角块、棱块的位置变换之后,角块的位置状态和棱块的位置状态的性质有奇偶之分,这一点各位都清楚了。我这里要说的是,查看位置变换,总要有个不变的参照物。这样一来,就有讲究了。有一种体系是用三阶魔 ...


关于乌木兄提出参照的问题,上面我没有特意说清,我用的是环境参照系,因为中心块参照不适用于二阶、四阶、空心等魔方。

另外,我没有考虑空心魔方所谓的“隐性中心块”,不存在就是不存在,如果说要考虑,那么唯棱是不是要考虑隐性角块呢?二阶是不是也要看成有隐性棱块隐性中心块的三阶呢(许多二阶确实有隐藏的棱块,但那只是机械辅助零件,不属于魔方的块)?

还有关于纯色的问题,我认为奇偶问题属于位置交换理论的范畴,应该要考虑所有块与块之间的互换,包括全同块之间的互换,比如四阶或五阶的中心块互换。
或者可以说即使是纯色魔方,也要当作图案魔方来处理,当然由于我们没有考虑色相,散结中心块这样的问题不是考虑的范畴。

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