直线分割L形的问题

小鸿99

今天做作业的时候突然想到这样一个问题（图比较烂，将就一下吧）
图中蓝色为原图（L形），作直线将这个图形分为两部分，使两部分面积相等。有三种方法：
紫色：在外面补上一个矩形，做小矩形和大矩形的对角线，连接两交点（图中直线1）
绿色：将原图分为两个矩形，作对角线，连接交点（图中直线2）
橙色：与绿色一样，转换角度（图中直线3）
图中三条直线（黑色）交于点P！
于是有如下猜想：
①是否所有这样的三条线均交于一点？
②经过这一点的所有直线是否均平分原图？
其中②是①的逆猜想及其推广
我觉得是对的……谁能证明一下？

appletree444

而这个交点可能在L形内部，也可能在外部。如果在内部的话，应该过这个交点随便画一条直线都能划分成面积相等的两块；而在外部的话，如果不介意最后划出来的直线将L分成不止两块的话，也应该是可以顺利将分割的块分成面积相等的两组吧（猜想，未证）。

appletree444

我觉得最直接的方法还是建立坐标，然后去计算。对于每个方案，很容易列出所作直线的方程。这样，3个方案就可以列出3个方程，两两联立可求出三条直线两两交点（已经验证过这3个方程中，其中两个可以得到第三个的方程，也就是说最后得到的3个交点的坐标都是同样的），算出来的解都是一样的。

PKUSMSBQ

楼上是如何把所有方法都用作图验证的？

tm__xk

小鸿99 发表于 2012-11-22 17:01
我测验过了（手动绘图测验），所有情况的L形均共点，不管它是大是小
这个现象应该不是一个特例……

我是说..对一般的图形而言..不仅是这种L..
当然..如果对这种L的确成立..那也不会难证..

小鸿99

tm__xk 发表于 2012-11-21 20:24
我只想说..一般来讲..这是不成立的..
至于lz给的特例是不是真的共点..我就不看了..

我测验过了（手动绘图测验），所有情况的L形均共点，不管它是大是小
这个现象应该不是一个特例……

Paracel_007

jinxian 发表于 2012-11-21 21:12
　　
　　
  

我怎么觉得我明显只考虑了LZ给的情况。。。

jinxian

　　
　　
  
   
    支持 Paracel_007 。
  
    liuximing1999 、tm__xk 都有考虑不周的地方呀，呵呵!
　　
　　
　　
　　

Paracel_007

1很容易证明是成立的，事实上那6个中心也构成了一个L型，而对于一般的L型，对应的三条线都共点（没有仔细去想，总之解几去算算也很容易）
至于2，显然不成立

liuximing1999

刚才算了好半天。发现像点p这种点不止在L形上有，而且好像不规则的图形都有，就是通过这个点的直线都可以将这个分为面积相等的两部分，不过好像没有人给这个点定过义。
不过lz的结论应该是正确的，等待大神证明。。。