四阶纯色魔方状态数计算公式

黑白子

四阶纯色魔方状态数计算公式

乌木

其实应该请作者来讲解的。
或许是，本来，在高阶中，比如五阶，其边棱块是和直心块奇偶态连锁着的；回到四阶后，可以看作直心块簇等“坍缩”了，边棱块和直心块的“攻守同盟”关系显示不出来了，但是边棱块的二交换之类的变换却仍然被称为“簇间变换”。
二阶时，如果看作是原来的四阶的棱块和心块“坍缩”了，但是仍然把二阶的两角交换称为“簇间变换”。
我这样解释似乎属于“强词夺理”。

黑白子

我还是有点不明白作者为什么说这两种情况是簇间变换，难道因为这两种状态都是扰动态？四阶的角块和边棱块同时切换奇偶性才是簇间变换呀。

黑白子

乌木 发表于 2013-9-9 11:01
我想，所谓“三轮换是最小变换”这一说法，隐含着一个前提吧？即保持这个簇的奇偶态性不变的条件下，最小 ...

我想，簇间变换应该是指至少2个以上的簇按照一定规则同时切换奇偶性，簇内变换不改变其它簇的奇偶性，对吧？n阶定律把这两种例外也说成是簇间变换，可是这两种情况最终结果并没有其它簇参与进来呀！明明是簇内变换，怎么能说是簇间变换呢？

乌木

黑白子 发表于 2013-9-9 09:34
我有一个问题，二阶的2个角块以及四阶的2个边棱块个字互换位置是算簇内变换还是簇间变换呢？
因为这两 ...

我想，所谓“三轮换是最小变换”这一说法，隐含着一个前提吧？即保持这个簇的奇偶态性不变的条件下，最小的位置变化是三轮换。对吧？
否则，任一簇（一定条件下）要发生一个二交换，不是不可能，只是该簇的奇偶性也必定切换一下而已。
有的簇的奇偶切换还一定伴随另一簇的奇偶切换。

黑白子

乌木 发表于 2013-9-8 13:10
实例演示。
棱块一个二交换，棱块簇成为奇态，同时角块-心块簇保持复原态，处于偶态：
[KBMFjava=450,400 ...

n阶定律中谈到簇内变换时只谈到了三种块（8个角块、12个中棱块、6个中心块）的色向变换与三置换。
即
AC变换
MC变换
HC变换
CT变换

黑白子

乌木 发表于 2013-9-9 08:37
四阶的情况还是不完整的，比如，到五阶时，其边棱块就不能独立做奇偶变换了，因为五阶出现了“直心块”。四 ...

我有一个问题，二阶的2个角块以及四阶的2个边棱块个字互换位置是算簇内变换还是簇间变换呢？
因为这两种情况都是扰动态，不是基态。n阶定律中提到簇内变换时都强调不影响别的簇，并且总是强调三置换是最小变换。

乌木

顺便说一下，四阶的情况还是不完整的，比如，到五阶时，其边棱块就不能独立做奇偶变换了，因为五阶出现了“直心块”。四阶的心块属于“斜心块”，四阶没有直心块，因而“便宜了”四阶的边棱块。
五阶第二层一转90°后，斜心块有两个四轮换，斜心块簇的奇偶性不变；边棱块和直心块都有一个四轮换，两个簇都要切换奇偶性，此时，五阶的边棱块就不再独立了。

下面的演示结果是边棱块有一个二交换，同时直心块也有一个二交换，边棱块簇和直心块簇相互制约着，要么都是奇态，要么都是偶态，不可能一奇一偶，也不可能一偶一奇：

乌木

实例演示。
棱块一个二交换，棱块簇成为奇态，同时角块-心块簇保持复原态，处于偶态：













棱块一个二交换成为奇态，同时角块-心块都有一个二交换处于奇态：













可见，四阶棱块的奇偶变化独立于四阶角块-心块的奇偶变化。

至于四阶角块簇和心块簇不可能一奇一偶，也不可能一偶一奇，为什么？请思考。

乌木

！！！！！ 发表于 2013-9-7 17:35
好高深。。学渣路过表示看不懂。。

这是说的“纯色四阶”，24个心块中每四个是同色的，再怎么打乱，四个同色的心块乱布于魔方的六个面中，比如四个红色心块，恰好分布在顶、右、前和左面的某一处，构成一种四个红心的花样，假如标记为红1、红2、红3和红4，这四个红心块在那四个位置上可以有4！＝24种布排方式：
1234，1243，1324，1342，1423，1432，
2341，2314，2431，2413，2134，2143，
3412，3421，3142，3124，3241，3214，
4123，4132，4213，4231，4312，4321。
但是，擦去标记后，这24种排列方式只能算作一种方式，进一步考虑，对于红1～红4心块在24个位置上的所有排列方式，每24种都只算作一种，故分母上要来个4！，也就是每24种花样都算作24/24＝1 种花样。
共六组同色心块，所以分母上有4！x4！x4！x4！x4！x4！＝4！^6 。
考虑到角块位置排好后，最后两个心块的排列法只有一种选择，可以假定这两个最后心块是同色的，相应的最后一组四个同色的心块的排列方式就不是4！种而是4！/2＝12种，所以上述4！^6要修正为4！^5 x (4!/2)=4！^6  / 2  。

至于为何“角块位置排好后，最后两个心块的排列法只有一种选择”？
因为随机组装角块和心块时，有8！x24！种排列方式，其中一半是可复原的奇态角块组合奇态心块或者偶态角块组合偶态心块，另一半是装得出却转不出来的奇偶组合或者偶奇组合，必须排除，也就是分子上有 8！x24！/2 。
可见，也可以解释为：24个心块排定后，最后两个角块的位置只有一个选择，所以角块的位置变化数为8x7x6x5x4x3x1＝8！/2 ，分子中还是8！x24！/2 。
分子上另一个24！不修正，因为四阶的边棱块可以独立交换任意两个块，也就是棱块簇是奇态或是偶态是独立变化的，与角块-心块是奇还是偶无关。