魔方到底有多少种变化

shita

以前不太知道怎么计算魔方的变化数，因为排列组合的时候每次转动都有8个块会动，用理论来说，就是没一个排列都不是独立的事件。
这两天，看了计算机最小步，发现了新东西，目前已经有很多计算机理论表明，一个3阶基本可以在20步左右还原。那么也就是说，一个魔方可以通过20步打乱成图案。这样一来就好考虑了。我们知道算作一步的转动有以下几种，R,L,F,B,U,D,R',L',F',B',D',U',R2,F2,U2,B2,D2,L2,总计18种路径。那么一个20步打乱可能的路径是多少种呢？18的20次方。
大家什么意见呢？

hqd20010111

不仅有位置，还有朝向。。。。。


明明是个男的，还放个女头像，唉

shita

忽然发现，数量应该是18乘17的19次方。因为除了第一步打乱可以有18种选择之外，以后没次打乱都只能17种，因为不能重复前一步打乱。

shita

哈哈，真的不能细细考虑阿，突然发现，如果第一步是R2,那么第二步和R有关的似乎也不能选了，因为这样一来，R2+R就等于一个R'，也就是说，变化数还要少。18乘15的19次方

shita

刚刚按照这个算法算了下，围棋的图案变化有4.69*10^108种，3阶魔为3.99*10^23种，和围棋比，差了N多数量级阿。

shita

hqd20010111 发表于 2013-4-2 09:17
不仅有位置，还有朝向。。。。。

爱美之心嘛，放个美女头像大家不也看着养眼么。

shita

从另一个角度来讲，如果能从理论上计算出变化总数量，那么也就决定了理论上存在的最小步数了。在这里通过旋转坐标轴以后一样的图案都应当归为一种。

hubo5563

shita 发表于 2013-4-2 09:22
哈哈，真的不能细细考虑阿，突然发现，如果第一步是R2,那么第二步和R有关的似乎也不能选了，因为这样一来， ...

不能这么简单考虑，其中还有很多重的。
    角块8个位置，8的排列，有8！种位置变化，棱块有12个位置，有12！个变化，每个角块3个方向，有3^8种变化，棱块有2个方向，有2^12种变化。所以总共魔方有12！*2^12*8！*3^8种状态。
    但是，转动不能单独交换两个棱块，总数应除以2，也不能单独交换两个角块，所以总数再除以2，不能单独转一个角，所以总数还应除以3，不能单独翻转一个棱块，所以总数还应除以2，但是可以同时交换一对棱块和一对角块，所以总是再乘以2，所以能转出的总数是
   12！*8！*2^11*3^7/2=43252003274489856000

shita

hubo5563 发表于 2013-4-2 09:34
不能这么简单考虑，其中还有很多重的。
    角块8个位置，8的排列，有8！种位置变化，棱块有12个位置，有 ...

我高中的排列组合都忘记得差不多了，按你的计算，比我最后估算的结果还少，你的是4.3*10^20种，那么用我的方法考虑的话，理论最少步要少于20步。大概是18步。

hubo5563

shita 发表于 2013-4-2 09:38
我高中的排列组合都忘记得差不多了，按你的计算，比我最后估算的结果还少，你的是4.3*10^20种，那么用我的 ...

最少步确实是20步，已经找到至少需要20步才能复原的状态了。