奇偶差异性魔方

ggglgq

本主题以前在循环变换理论中提到过，现在专门为大家“科普一下”！





“奇偶差异性魔方”的定义


定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”，
称这样的魔方为“奇偶差异性魔方”。

即：奇偶差异性魔方，只能有步长为偶数的循环变换。

例如：

1、2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；




2、0123 魔方 具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6 的循环变换；




3、通常意义的 正六面体 N 阶魔方 全部都 具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度
为偶数的循环变换。 注意：旋转 180 度按两步计算 。



有意思的是：如果一个具有“奇偶差异性”的魔方，同时具备这个魔方所在的空间各个
方向的几何对称性，那么这个魔方具有“奇、偶状态数相等”的属性，当然 奇、偶状态数
都是 总状态数 的一半。

比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:35 编辑 ]

ggglgq

“奇偶差异性”魔方的性质

“奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方 的 奇、偶状态 独立。

由于 “奇偶差异性”的魔方 只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的任何 奇数
步长 的变换都无法被 偶数 步长 的变换 表示，从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”，
即 这种魔方 的 奇、偶状态 独立。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:36 编辑 ]

ggglgq

　魔方的“最远状态”与“奇偶性”无关

大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关，实际上
这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。

以下是引用大烟头在2005-10-4 13:27:03的发言：
三阶魔方有二种状态:扰动状态,非扰动状态。它们的总状态数是一样的，而且随着步长交叉出现的。
这现象是否说明离魔方初始状态的最远状态是扰动状态！
这两个状态就象两只手叉在一起，相互距离最远的手指不是同属于一个手掌内，初始状态是非扰动状态，那它的最远状态就是扰动状态！
不知我这想法有没有道理？
[em01]

魔方的“最远状态”与 “奇偶性” 无关。

即：魔方的“最远状态”独立存在于“奇偶性”或者所谓的“扰动”、“非扰动”之外。

为简明起见，这里引用 乌木 先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家看看：



乌木 先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家展示了“最远状态”是偶数 4 的例子。
“最远状态”是奇数的例子也很简单：

如 0123 魔方，它的“最远状态”是奇数 3 。


她们两个具有共同的属性：奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。但“最远状态”
却可奇可偶。 因此 烟头 的论断有误，比如 正六面体二阶魔方 的最远状态步数为偶数。
注：旋转 180 度按两步计算


关于“正六面体三阶魔方”的最远状态的论述，请大家参考：魔方的最远状态要几步复原。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:37 编辑 ]

ggglgq

虽然这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 无关，但是这种魔方
的“最远步长”却有极好的特性：

以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言：

定理一： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ，
使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax
并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。
假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的
长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换，
假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x），
则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ，
a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ，
设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。
因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而 变换 B 又由 d 开始，
故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ，
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换，
故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换，
又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。
（若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d)
构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方 矛盾。）
因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1)
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换，
所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。
（若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x
即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为一个长度为 x 的最少步变换 矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换，
亦得矛盾。）
即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ，
所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。
又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。

同理，再由“有效变换的定义”可证得：
定理二： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。





比如 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，因此她的最远变换可以从任意方向开始，也可以
从任意方向结束；




[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:38 编辑 ]

ggglgq

“奇偶差异性”魔方的判定

一、根据 “奇偶差异性”魔方的定义 判定：

对于某些魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，判定
这个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。

比如：1、 正十二面体三阶魔方 存在 步长为 5 的“循环变换”，故
正十二面体三阶魔方 非“奇偶差异性”魔方。

2、2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此
2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。



由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举
来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的 判定定理 来判定。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:59 编辑 ]

ggglgq

P>


二、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：


1、 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换 移动
魔方块，如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性，那么
我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。 （即：魔方块的位态
与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态 只能“奇数”
步到达，“偶数”的位态 只能“偶数”步到达，不能互相参合）





2、“奇偶差异性”魔方的判定定理：如果魔方的每个块的所有位态都
具有“奇偶差异性”，那么 这个魔方具有“奇偶差异性”。

定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少
存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的
位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”
的位态。 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾，
故定理得证。

上面的定理告诉我们，只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否
具有“奇偶差异性”，就可以判定 这个魔方 是否 具有“奇偶差异性”了。
说是 魔方的 所有块 ，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“代表块”，
其它的可同理得证。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-12-27 13:59 编辑 ]

sing2

好复杂啊 ,看了半天只是看了一点点

魔鱼儿

这是谁的研究,看不大明白啊

zgh2002

没心思看,先记下了,哪天需要时再来仔细研究

咖啡味的茶

奇偶性魔方计算所有情况个数比较简单