[讨论]魔方原理漫谈

rongduo

从数学角度看，魔方的组合原理（以下简称“魔方原理”）是一个早已解决了的问题，其理论渊源可以追溯到19世纪上半叶由法国数学家伽罗瓦首创的置换群的理论。然而现在我们很难看到系统的魔方原理的专著（至少我没有看到过），我猜想，这是因为专业的数学工作者会认为悉心去写这样的书既费力，又难以展示自己的学术水准；而非专业人士大多对置换论所知太少，无力完成这一任务。

我自然是非专业人士。事实上，我是中学语文教师，只是为了探寻魔方的原理才涉猎了有关的数学知识。我的起点很低，譬如，我们上中学时数学课本中并没有排列组合知识（多早啊！），所以我只好从头学习。

通过学习我知道，阐述魔方的基本原理只须要有群论开头的一部分知识就足够了。从那时起我认为我也可以运用群论来解释魔方（其实最初我主要想亲手计算魔方的组合数）。于是就大着胆子着手去填补专业与非专业之间的一个空档，这样就有了《魔方组合原理》这本书。严格来说，本书属于群论一脉，仅仅在理论的实现技巧和通俗化方面我贡献了一点微弱如萤火的智慧。这一切大致发生在1996至1999年之间。

但正如魔友Pengw多次指出的那样，我的理论还不能解释中心块。

坦率地说，在登陆魔方吧（2004年8月底）以前，我并没有想到还有什么中心块的方向问题，也没有见过既有颜色、又带方向性图案的魔方。登陆魔方吧后，我急着要把自己的书稿录入电脑，偶而在论坛上看一看关于中心块的帖子（比如http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=2&ID=4&star=1&page=4）。从那时起我才开始时断时续地思考它，然而直到现在我的思考仍然没有完全成熟。但我还是愿把这些不成熟的东西说出来与大家交流。

第一、跷跷板原理（http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=259&page=1，更准确的表述见于即将挂于魔方吧的＜魔方组合原理＞）是否也可以解释中心块？

对此我的回答是：可以，但要作简单地技术性地推广。

从数学的角度看，中心块是相对于边角块的“奇点”，通常一个数学系统可以不包含奇点，如若要包含的话，则可以和必须对系统进行扩充。但目前我还没有扩充的打算，因为我在其它有关方面的思考还不够成熟。

第二、在还原最原始的鲁比克魔方时，我们有意无意地把中心块作为参照系。但在还原中心块时，我们又要求它的方向须与边角块上的方向图案保持一致，这样的开解过程意味着我们同时需要运用两个完全不同的参照系——颜色的参照系和图案方向的参照系。这是一种什么样的参照系呢？愿诸位魔友有以教我。

当然，这样的困惑只存在于思辨中。它不影响具体的开解，论坛上有现成的开解法，而我也另有自己的开解法。

第三、对Pw3定律的些许评价。

看得出来，Pengw魔友思维锐利且创造力旺盛，Pw3系统确有其独到的价值。比如那个“中棱角变换”就值得击节赞赏（后边我们还要回到这一话题）。

但我也注意到，从留言板到论坛，Pw3已经从“定理”变成了“定律”，这很聪明，因为这样可以回避证明的虚耗。

“定律”意味着实证。一个主要由经验实证的学说，应属于科学上所说的那种拟经验的学说。一个拟经验的学说有时也可以（但有时不可以）属于科学的一部分。事实上，对魔方的解释可以有不同的学说，它可以是拟经验的，也可以是公理化演绎的。故而，Pw3自有其存在的理由。魔方的学说应该而且必然百花齐放。仅就我所知，除了Pw3和跷跷板原理外，至少还可以存在着一种纯粹群论的学说。（顺带指出，关于魔方的纯粹群论的描述将非常曲屈琐细，实现起来较为困难，不大适合公众读者）。

现在再来看中棱角变换。我喜欢这一命题，但又不得不遗憾地指出，把这一命题作为定律有损于它的美的魅力。事实上，完全可以从比它简单得多的魔方的事实出发，借用第三方数学工具——标准的置换代数知识（我的跷跷板原理在这里可派不上用场，因为它还没有推广到中心块），使它升华为一个美妙的、可证明的定理。我已经做出了这样的证明，短小简单，不要求读者有高等代数的预备知识。不过，我期待并且相信Pengw也能对此作出证明（方法不限），毕竟他最初是把这作为定理提出来的，我的证明愿发表于他之后。

总体上看，Pw3是一个有价值的体系，但却未必是一个逻辑精美的体系。这种不太精美表现不止一端，现再信手拈出一例如下：

体系中众多的“定律”相互间是否都具有独立性？或者说，某些定律是否可以从体系中的另一些定律推导出来？这需要审慎研究，以避免芜杂。

以上在激赏Pw3的同时，也对它作出了较苛刻的批评。但这一切除了追求真知以外，并无恶意，望Pengw魔友谅之。要感谢魔方吧为我们提供了交流的园地。我们来这里是为了寻其友声，觅彼知音。如果在自娱共娱的同时，我们又能为主流的科学界提供某些有价值的研究素材，则幸何如之！

与主流的科学界相比，我们这些玩魔方原理的人只能算是“菜鸟”（至少我是）。记得好几年以前，我曾经访问过一个大学数学讲师的个人主页，顿时自惭形秽，因为上面提出的是让我摸不着头脑的魔方理论问题。

如果我们在魔方吧争谁是正宗第一高手，就难免再演一场伪华山论剑的闹剧。“历史上”同样的一场闹剧曾被独臂大侠杨过一声巨喝，“论剑者”屁滚尿流，落荒而逃。

[此贴子已经被作者于2005-3-14 9:37:59编辑过]

pengw

rongduo所言非常精辟,其中对PW3的评价犹其中肯,PW3及后面的N阶魔方定律极大地依赖了个人的经验与直觉,虽然本人基于个人经验与判断可以自信地说:N阶正立方体魔方定律预预言了N阶魔方一切状态,但从定律给出形式看,含有较重的经验意味,N阶定律是对PW3的推广,PW3中的中棱角变换,在N阶定律中成了方程表达的扰动关系,其实中棱角变换就是一种扰动关系.当初在做PW3推广时,想当然地认为是件简单的事情,随后也草率地发表了,过了24小时,本人就发现严重错误,最后导致本人羞愧难当地撒版,春节期间,痛苦的深思代替了节日的感觉,历经一周,终于将魔方问题在簇内与簇间分离,即簇内变换是大家在三阶即认识了的变换规则,簇间变换是始于二阶,在三阶称为中棱角变换,三阶以上,随阶数增大而变的异常复杂,须借用方程表达.簇内变换规则与簇间变换规则制约魔方一切表象,所以本人称N阶定律为;预言魔方任意状态.

魔方问题的一个重要事实是,一个基本变换是多个簇同时参与的,每个簇内部可以独立变换,簇与簇之间又相互扰动,这给建建一个合谐方程带来问题.

在构思N阶定律时,本人堪至没有一个四阶魔方,一些概念的提出与定义的确非常困难,但若不做,也不能描述自已的思想,本人是经过系统考虑与验证之后,才发表N阶定律的,立求完整呈现.至今没有看到对N阶定律的有深度评价,使本人感到困惑,N阶定律实际上襄括了所有阶魔方的变换规则.我希望有有力的反馈.环,簇,扰动是我带进魔方吧的概念,大家认为如何?我很想知道,当前我认为,N阶可以解释各类怪异现象,如四阶的二个棱块互换位置,六阶的一条棱整体翻转等,我希望被举反例,希望激发猛烈争议,这样大家才能共同前进,即然敢发N阶,我是有满头鲜血准备的.我的理论更不是神,仅想借此引暴争吵,共同获利,大家一起,踩偏忍冬,玩笑.

我非常欣赏rongduo的学术式评论,rongduo请不必客气,学术不分先后,希望早日见到你的证明过程,我的数学学的不好,实话实说

老猫：我删了引用。

[此贴子已经被作者于2005-4-8 18:29:45编辑过]

rongduo

接着一楼的话题继续说。

（一）

我们已说过， Pw3中定律可能存着相互不独立的命题，现举出一例。

假定中棱角变换正确，则Pw3中的首条定律：

任一中心块可独立转180度。

就是可以逻辑证明的。证明如下。

对一个初始状态为基态（Pw3中的一个值得借鉴的术语）的魔方，现通过一组转动Rs，使其发生一次中棱角变换，按照本变换的推论1，不妨假定在这一变换中：

(i) 中心块C顺时针转动了90°；

(ii) 棱块e1和e2互换位置；

(iii) 角块c1和c2互换位置。

现在再一次对魔方运用Rs（亦即再进行一次同样的中棱角变换），则e1和e2互换位置回到了原位，c1和c2互换位置也回到了原位，而C则再一次顺时针转动90°，于是它相对于基态方向共转动了180°。又按Pw3_1.5.中的推论2，我们总可以选择某些较优的Rs，使得回归本位时e1、e2、c1、c2仍然保持正确的方向——这意味着此时除中心块C相对于基态转动了180°外，魔方上所有的方块都有着正确的位向。于是上述首条定律获得逻辑的证明。

以上的证明是在Pw3内部进行的。它表明即使在Pw3内部，首条命题也有资格作为定理或推论而出现。最起码，不适合把它作为整个体系的首命题。

rongduo

（二）

Pw3_3.2.4.中色向和的定义有（序号为引用者所加）：

(i)棱色向和计算定义：任意二个棱色向:0+0=0,1+1=0

(ii)角色向和计算定义：任意二个角色向:0+0=0,1+2=0

任意三个角色向:2+2+2=0,1+1+1=0

(i)所定义的运算缺了1+0，这违背代数系统的基本要求，极有可能导致错误。同样(ii)中也没有定义2+0和1+0，并且没有讨论交换律。

对于(ii)中的2+2+2=0，必须先定义2+2等于什么；其后的1+1+1=0也存在同样的问题。除此之外，还缺乏交换律和结合律的证明或讨论。故而在魔方的实际中，这一不完备的运算系统不会有多大的用处。比如，所定义的系统将无法完成如下的关于角块方向的运算：

2+2+2+2+1+2+2+2

而它表示的是魔方中的一个合法的图案。

pengw

以下是引用rongduo在2005-3-21 8:42:51的发言：

（二）

Pw3_3.2.4.中色向和的定义有（序号为引用者所加）：

(i)棱色向和计算定义：任意二个棱色向:0+0=0,1+1=0

(ii)角色向和计算定义：任意二个角色向:0+0=0,1+2=0

任意三个角色向:2+2+2=0,1+1+1=0

(i)所定义的运算缺了1+0，这违背代数系统的基本要求，极有可能导致错误。同样(ii)中也没有定义2+0和1+0，并且没有讨论交换律。

对于(ii)中的2+2+2=0，必须先定义2+2等于什么；其后的1+1+1=0也存在同样的问题。除此之外，还缺乏交换律和结合律的证明或讨论。故而在魔方的实际中，这一不完备的运算系统不会有多大的用处。比如，所定义的系统将无法完成如下的关于角块方向的运算：

2+2+2+2+1+2+2+2

而它表示的是魔方中的一个合法的图案。

rongduo朋友,你好,谢谢你读的如此仔细,正如你所言,所有定律都是基于实证而给出,我的想法是,如果从实证角度更简单且从逻辑角度无二义,我更愿意选择实证而回避海量的数学符号,魔方上的基本逻辑异常简单,如二个边角块互相影响色向的问题,只要存在一个公式对相对位置确定的二个边角块可实施独立色向变换,那么即可引伸到对任意二个相对位置的边角块,该公式同样成立,因为可将任意二个边块角块调到适合上述公式要求位置,实施变换后,再退回原位,这样也证明了角色向变换规则.其它变换规则证明雷同.

rongduo朋友关于色向和结论我不赞同,也许是我没有表达清楚我的原意,"1+2=0",表示一个顺转的边角块与一个逆转的边角块可互消为基态,基于这种意义,显然与交换律及结合律没有关系.因为二个独立2或1的状态(相对基态图案)是不可能出现,所以表达式中没有2+2,1+1的定义,2要么与1对偶出现,或以3的倍数独立出现,1也同理.所此在此只给出了2+2+2,1+1+1.显示2+2=1,1+1=2.对于rongduo朋友给出的:2+2+2+2+1+2+2+2=?

显示:2+2+2=0,2+1=0,2+2+2=0,因此,2+2+2+2+1+2+2+2=0

色向和对简化变换及图案设计,有重要的指导意义,无论角块在什么位置,显然可以将"2+2+2+2+1+2+2+2"随意分配给八个角块,图案绝对合法,神奇吧!这就是所谓的色向和与环无关,同理,中棱块也有如此特性.色向和可以让玩家将块的位置与块的色向分开考虑

我的定义方法,的确不适宜数学计算,rongduo朋友说的对

[此贴子已经被作者于2005-3-21 21:26:42编辑过]

pengw

以下是引用rongduo在2005-3-21 8:41:36的发言：

接着一楼的话题继续说。

（一）

我们已说过， Pw3中定律可能存着相互不独立的命题，现举出一例。

假定中棱角变换正确，则Pw3中的首条定律：

任一中心块可独立转180度。

就是可以逻辑证明的。证明如下。

对一个初始状态为基态（Pw3中的一个值得借鉴的术语）的魔方，现通过一组转动Rs，使其发生一次中棱角变换，按照本变换的推论1，不妨假定在这一变换中：

(i) 中心块C顺时针转动了90°；

(ii) 棱块e1和e2互换位置；

(iii) 角块c1和c2互换位置。

现在再一次对魔方运用Rs（亦即再进行一次同样的中棱角变换），则e1和e2互换位置回到了原位，c1和c2互换位置也回到了原位，而C则再一次顺时针转动90°，于是它相对于基态方向共转动了180°。又按Pw3_1.5.中的推论2，我们总可以选择某些较优的Rs，使得回归本位时e1、e2、c1、c2仍然保持正确的方向——这意味着此时除中心块C相对于基态转动了180°外，魔方上所有的方块都有着正确的位向。于是上述首条定律获得逻辑的证明。

以上的证明是在Pw3内部进行的。它表明即使在Pw3内部，首条命题也有资格作为定理或推论而出现。最起码，不适合把它作为整个体系的首命题。

在PW3的框架内,说的非常好,应该是推论的推论,完全赞成,但中棱角变换是对扰动关系的模糊定义.建议rongduo看看N阶定律,从簇内/簇间的区分中,中棱角变换已成为三阶唯一的扰动关系,中心块180变换已作为中心块簇的内变换性质,基于N阶定律关于扰动的定义,二次中棱角变换(二次扰动)的效果为零,中心块变换是独立规则,在PW3中,将扰动与中心块变换弄在一起了,当时起点低(三阶),看的没有现在明了,也曾对如何表达心块与中棱角变换犹豫,SORRY.

rongduo朋友有非常严谨的数学思维,是我学习的榜样,跟你讨论问题很愉快

[此贴子已经被作者于2005-3-22 7:18:21编辑过]

kexin_xiao

学习一下，帮忍大师找找帖子

pengw

谢谢楼上，rongduo是对魔方有深入研究的玩家，他的贴子值得一读。虽然以前他跟我也有激烈争论，但我想，即然我当了运动员就不能当裁判员。理论区应该各舒已见，对与错应该由大家来评判，而不是版主。

pengw

如果7楼不介意，你可以代为转告GGGLGQ，他也可以将循环变换理论相关的贴子转到理论区来

sl888000

很深奥，很费解，学习了。