[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

ggglgq

                “奇偶差异性”魔方的判定

 

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2005-11-16 10:47:39的发言：

    
  
  具有“奇偶差异性”魔方的定义
  
     定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。

    即：具有“奇偶差异性”的魔方，只能有步长为偶数的循环变换。

    例如：

    1. 最简单的“开关”魔方具有“奇偶差异性”，她只有一个长度为 2 的循环变换；

    2. 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；

    

3. 通常意义的 正六面体 N 阶魔方 全部都 具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度
为偶数的循环变换。  注意：如 U2 算 两步。

 

 

    如何判定一个魔方是否是“奇偶差异性”魔方呢？

 

ggglgq

<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;<FONT color=#3300ff size=6>“奇偶差异性”魔方的判定</FONT></P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 一、根据 <A href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=18&amp;ID=153&amp;replyID=45727&amp;skin=1"><FONT color=#3300ff>“奇偶差异性”魔方的定义</FONT></A> 判定：<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对于某些魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，判定<BR>这个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 比如：1、 正十二面体三阶魔方 存在&nbsp;步长为 5 &nbsp;的“循环变换”，故<BR>&nbsp; 正十二面体三阶魔方&nbsp; <FONT color=#ff0000>非</FONT>“奇偶差异性”魔方。<BR><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此<BR>2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。</P>
<P><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0></P>
<P><BR><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举<BR>来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的 判定定理 来判定。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:44 编辑 ]

ggglgq

<P></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 二、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1、 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换 移动 <BR>魔方块，如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性，那么<BR>我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。&nbsp;&nbsp;&nbsp; （即：魔方块的位态<BR>与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态 只能“奇数”<BR>步到达，“偶数”的位态 只能“偶数”步到达，不能互相参合）<BR><BR><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2007-5/20075281735499952.gif" border=0><BR><BR><BR></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、<FONT color=blue><STRONG>“奇偶差异性”魔方的判定定理</STRONG></FONT>：<FONT color=#ff0033>如果魔方的<FONT color=#3300ff>每个块</FONT>的<FONT color=#3300ff>所有</FONT>位态都<BR>具有“奇偶差异性”，那么 这个魔方具有“奇偶差异性”</FONT>。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少<BR>存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的<BR>位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”<BR>的位态。&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾，<BR>故定理得证。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 上面的定理告诉我们，只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否<BR>具有“奇偶差异性”，就可以判定 这个魔方&nbsp; 是否 具有“奇偶差异性”了。<BR>说是 魔方的 所有块 ，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“<FONT color=#ff0000>代表块</FONT>”，<BR>其它的可同理得证。</P>
<P>&nbsp; <BR>&nbsp; </P><BR><FONT color=#000066>
<P align=right><FONT color=#000066>&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; </FONT></P></FONT>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:51 编辑 ]

ggglgq

 

    三、需要说明的几点：

        1.如果考虑 正六面体 奇 阶魔方 中心块问题（即大家所说的 全色魔方），
它的“奇偶差异性”可由 正六面体 奇 阶魔方 中心块的位态的“奇偶差异性”得到。
即由 中心块的位态具有“奇偶差异性” 得： 正六面体 奇 阶魔方 是“奇偶差异性”
魔方。

        2.如果不考虑 中心块问题，那么 任何的 变换 都不会影响 它的中心块
位态，即 任何 变换 相对于 中心块 的移动步长 都为 0 。

          所以 任意 不考虑 中心块 的 中心块魔方 都是 “奇偶差异性”魔方。

          如：不考虑 中心块 正十二面体五魔方 的 中心块魔方 是“奇偶差异性”
魔方。
              而 不考虑 中心块 正十二面体五魔方 却 非 “奇偶差异性”魔方。

          因此 不考虑 中心块 的 正六面体 N 阶魔方（即大家所说的 纯色魔方）
 的“奇偶差异性” 可由它的所有 棱、角 块 是否都具有“奇偶差异性”来 判定。

        3.对于 不考虑 中心块 的 正六面体 N 阶魔方（即大家所说的 纯色魔方），
如果 每个面旋转 180 °必须按两步计算，大家可由 “奇偶差异性”魔方判定定理
判定出 正六面体 N 阶魔方 是“奇偶差异性”魔方。
同理 如果 每个面只能旋转 180 °，正六面体 N 阶魔方 也是“奇偶差异性”魔方。

[此贴子已经被作者于2007-5-28 17:39:03编辑过]

乌木

不好懂啊！

上面说： “3. 通常意义的 正六面体N 阶魔方全部都具有‘奇偶差异性’，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意：如 U2 算两步。”

上面又说： “比如：1. 正六面体三阶魔方 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，存在 U U2 U 的“循环变换”，故 正六面体三阶魔方 相对于 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方非‘奇偶差异性’魔方。”

那么，一个正六面体三阶魔方究竟是还是不是“奇偶差异性”魔方呢？180°算一步和算两步，结论就完全相反，对吗？如果对的，那么，恐怕问题会多多……

上面说： “‘奇数’的位置 只能‘奇数’步到达，‘偶数’的位置 只能‘偶数’步到达，不能互相参合。”  并且给出了这个图（经删节）：

图0和图3不是同一位置吗？某一个棱块在这位置上可以有两种颜色取向，不等于这是两个位置吧？否则，是否要说“三阶魔方共有24个棱块位置”呢？

此外，图2位置相对于图0位置来说是偶位置；但是相对于图1来说，又是奇位置。可见，讲一个位置的奇偶，必须涉及两个位置。既不是这个位置的性质，也不是那个位置的性质，而是所涉一对位置的相互关系；而且是奇还是偶，还与棱色取向有关。g老师说的是这意思吗？

上面说： “如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是‘奇偶差异性’魔方。而不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”

这里说的两种“五魔方”区别是什么？是不是一种的中心块因为印有图案之类而具有了方向性，另一种则无？如果是的，哪一种有？哪一种无？

[此贴子已经被作者于2007-5-26 20:20:55编辑过]

ggglgq

 

    还是分别回答清楚些。

 

---

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “3. 通常意义的 正六面体N 阶魔方全部都具有‘奇偶差异性’，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意：如 U2 算两步。”

上面又说： “比如：1. 正六面体三阶魔方 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，存在 U U2 U 的“循环变换”，故 正六面体三阶魔方 相对于 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方非‘奇偶差异性’魔方。”

那么，一个正六面体三阶魔方究竟是还是不是“奇偶差异性”魔方呢？180°算一步和算两步，结论就完全相反，对吗？

 

    对！

ggglgq

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “‘奇数’的位置 只能‘奇数’步到达，‘偶数’的位置 只能‘偶数’步到达，不能互相参合。”  并且给出了这个图（经删节）：

图0和图3不是同一位置吗？某一个棱块在这位置上可以有两种颜色取向，不等于这是两个位置吧？否则，是否要说“三阶魔方共有24个棱块位置”呢？

此外，图2位置相对于图0位置来说是偶位置；但是相对于图1来说，又是奇位置。可见，讲一个位置的奇偶，必须涉及两个位置。既不是这个位置的性质，也不是那个位置的性质，而是所涉一对位置的相互关系；而且是奇还是偶，还与棱色取向有关。g老师说的是这意思吗？

 

    乌木 先生的意思我很明白。我在这里只是为了叙述“简明”才用“位置”这一
概念的！我想 实在是 没有必要 再给“位置”下一个定义了！

    因为各类“奇偶差异性”魔方（比如 一维、二维、三维 或 高维 魔方）的情形
比较复杂，因此我统一用“位置”表述。我做图的意思就是为了让大家认识到这一点。
这里顺便强调一点：同一“位置” 的 不同的 魔方块 也具有“奇偶差异性”，我就
不扩展说明了，这个问题有能力的魔友可以考虑一下的。

ggglgq

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是‘奇偶差异性’魔方。而不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”

这里说的两种“五魔方”区别是什么？是不是一种的中心块因为印有图案之类而具有了方向性，另一种则无？如果是的，哪一种有？哪一种无？

 

    请您注意“中心块魔方”是不包含其他 棱块、角块 的！

    这句话的意思委婉地说： 考虑 中心块 正十二面体五魔方 的 中心块魔方 是
非“奇偶差异性”的魔方。

    魔方的“循环变换”、“奇偶差异性”等概念的内涵与外延是极其丰富的！

乌木

谢谢答疑。  
原来这样。112楼中回答：“对”，那么，与其说一个如此这般的魔方是或非“奇偶差异性”魔方，倒不如说有关的一串操作（因计数方法的不同而）是或非“奇偶差异性”操作。到目前我是这样认识的。
照113楼的答复，倒不必另外定义“位置”的，但不宜用“位置”来描述这问题，是否改用“位态”？指定一个棱块，它在三阶魔方中的位置可以有12个，每一位置上又可以有两种状态，所以它有24个“位态”。对于一个指定的角块，其在三阶魔方中的“位态”有8×3＝24个。对于一个指定的中心块，它在奇阶魔方中有1×4＝4个“位态”。考虑到魔方变化的内在规律，一个块的所有“位态”不能任意体现的，态态之间有一定的制约关系，除非拆散后任意组装。
照114楼的答复，“中心块魔方”是不包含其他棱块、角块的。   好，那么，我的引言中、您说的两种五魔方，一种是“不考虑中心块的‘中心块（五）魔方’”；另一种是“不考虑中心块的五魔方”。
前者仅剩下内部轴架了，什么块都没了，怎么讨论它的什么什么性质呢？
后者是（设想）拆去12个中心块的“镂空球”似的东西（或者12个中心块做得完全一样，不可分辨）。
有意思的是，我所引的、您说的第二种是“不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”，而114楼的“委婉”答复又变成了“考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方，是非“奇偶差异性”的魔方。”
“不考虑中心块”变成“考虑中心块”，“五魔方”（有棱、角）变成“中心块魔方”（无棱、角）。这么变动之后，“镂空球”变成“反镂空球”（即仅剩下12个中心块，没了棱和角，或者所有的棱和角都一个样），是不是？哪种才是“非‘奇偶差异性’的魔方”呢？
此类“魔方”不好玩，至少后一种不好玩－－因为“反镂空球”不存在“打乱－复原”问题了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-12 10:43 编辑 ]

ggglgq

 

    “位态”这个词好，感谢 乌木 先生的提醒，采纳 乌木 先生“位态”的建议，
帖子已经做了修正！

     欢迎大家提出好的建议，让我们大家共同完善“循环变换理论”！