[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

黑白子

原帖由 ggglgq 于 2004-6-3 14:33 发表
          魔方循环变换理论概述（待完善）
一、魔方循环变换的定义：
    1.先给出几个记号：
      在本理论中，统一规定：        小写字母表示步长为 1 的变换；        大写字母表示由步长为 1 的变换构成的变换。对于变换 A ，若它的积为单位元，则记为： A = 1 ；
对于变换 A ，
length(A) 表示变换 A 的长度;
half(A) 表示 length(A) 的一半并取整;
例如: A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 ；
length(A) = 6 ， half(A) = 3 。
又如: A = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11；
length(A) = 11 ， half(A) = 5 。
对于变换 A ，
circle0(A) 表示变换 A 的首尾相连的旋转变换，旋转方向
继承变换 A 的方向；
注意：变换 circle0(A) 是没有首尾的，但却是有方向的。
如：circle0(a1 a2 a3) 与 circle0(a3 a2 a1) 是反方向。
any(A,n) 表示变换 A 的任意一个相连的长度为 n 的子变换；

2.魔方循环变换的定义：
对于有效变换 A ，如果 A = 1 ，并且 any(circle0(A),half(A))
都是最少步变换，则称变换 A 为循环变换。记作：
循环变换 A 或 circle(A)
...

问几个问题：
1、什么是变换？我理解变换就是一组公式，对吗？
2、什么是变换A的积？是指步长的乘积吗？
3、什么是单位元？单位元是数字1吗？
4、什么是有效变换？什么是无效变换？能举一个例子吗？
5、变换A的长度是90度为一步吗？步长为1的变换就是U、R等转动，对吗？
6、循环变换和循环公式是一个概念吗？

黑白子

我对“终极状态”的理解：
设到达状态A的最小步是18步（每步90度），从状态A出发，往前走一步（U、R……等每步90度的动作）得到状态B的集合（共12个），设到达状态B的集合（共12个）的最小步分别是 x个17步、y个18步、z个19步，x+y+z=12。若z=0,则状态A是终极状态；若z≠0，则状态A不是终极状态。这样理解对吗？

乌木

我也是这样认识的，不知对不对？
这样的18步态A，如果其最少步也具体知道的话，则态A走那最后一步的逆步骤，必然回到17步态。如果初态到18步态A有多条最少步路线（即，因合并同态而会聚于同一态A），那么，就有多个最后一步的逆步骤，都是回到17步态。对吗？这是另一问题，我顺便说说，和“终极状态”的判断无多大关系。

ggglgq

原帖由 黑白子 于 2010-8-26 16:21 发表

问几个问题：
1、什么是变换？我理解变换就是一组公式，对吗？
2、什么是变换A的积？是指步长的乘积吗？
3、什么是单位元？单位元是数字1吗？
4、什么是有效变换？什么是无效变换？能举一个例子吗？
5、变换A的长度是90度为一步吗？步长为1的变换就是U、R等转动，对吗？
6、循环变换和循环公式是一个概念吗？  

　　
　　
  
    欢迎大家研究探讨魔方的 循环及循环变换理论。下面简单回答一下 黑白子
  
提出的有关问题。
  
  
    1、什么是变换？我理解变换就是一组公式，对吗？
  
    可以这么理解的。
  
  
    2、什么是变换A的积？是指步长的乘积吗？
  
    “积”是“群论”的基本概念，就是指变换 A 的值，不是“步长的乘积”。
  
  
    3、什么是单位元？单位元是数字1吗？
  
    “单位元”是“群论”的基本概念，可以理解为 1 ，但不是 1 。
  
  
  
    4、什么是有效变换？什么是无效变换？能举一个例子吗？
  
      比如 U D U 是有效变换，而 U D U' 是无效变换。 定义比较麻烦，考虑
  
的情况比较多，算了，不给出“有效变换”、“无效变换”的定义了。
  
  
    5、变换A的长度是90度为一步吗？步长为1的变换就是U、R等转动，对吗？
  
    对于 正六面体 N 阶魔方 来说，应该是这样。 当然，旋转 180 度为 1 步
  
也是没有太大问题的，只是需要考虑的情况更复杂。
  
    这里需要强调一点，魔方不全是“正六面体 N 阶魔方”，因此，没有 90
  
度 之说。
  
  
    6、循环变换和循环公式是一个概念吗？
  
    不是。
　　
　　
　　

ggglgq

原帖由 黑白子 于 2010-8-27 07:51 发表
  
我对“终极状态”的理解：
设到达状态A的最小步是18步（每步90度），从状态A出发，往前走一步（U、R……等每步90度的动作）得到状态B的集合（共12个），设到达状态B的集合（共12个）的最小步分别是 x个17步、y个18步、z个19步，x+y+z=12。若z=0,则状态A是终极状态；若z≠0，则状态A不是终极状态。这样理解对吗？

　　
　　
  
    我在《终极状态》一文中，“终极状态”的意义是：
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=514&extra=&page=2
  
    若 y + z = 0 ，则 状态 A 是 终极状态 。
  
    若 y + z ≠ 0 ，则 状态 A 不是 终极状态 。
  
  
    请大家对比数学里的“极值”，“终极状态”和“极值”类似，都在强调
  
“局部 极”。 而“最值”和“最远状态”则在强调“全局 最”。
  
  
  
  
    当然，我们可以“针对” 旋转 180 度为 1 步 的 正六面体 N 阶魔方 而
  
特别制定如：
  
    若 z = 0 ，则 状态 A 是 终极状态 。
  
    若 z ≠ 0 ，则 状态 A 不是 终极状态 。
  
的“终极状态”。它的适用性更广泛，不仅仅是 “正六面体 N 阶魔方”适用，
  
“奇偶差异性魔方” 也适用，其他 各类魔方 都适用。
  
  
    因此，本人非常赞同 黑白子 这种拓展 奇偶差异性魔方 “终极状态” 的
  
定义，使它适用于 各类魔方 。
　　
　　
　　

乌木

原来有些东西是群论概念，我不懂了。看来，先接受有关的结果，学学如何应用等等，已经够有趣的了。

1楼说：“对于变换 A ，
circle0(A) 表示变换 A 的首尾相连的旋转变换，旋转方向
继承变换 A 的方向；
注意：变换 circle0(A) 是没有首尾的，但却是有方向的。”

那么，拿到一个魔方，如何让它做circle0(A)呢？它总得开步走第一步吧？是否在circle0(A)之中任选一步作为第一步？那么，这一步就是这一次进入循环的“首”，对吗？所谓“没有首尾”不是指无法进入循环。对吗？
此外，每循环若干遍数时，魔方一定恢复初态一下。对吧？那么，每次进入同一循环的“进入点”不同的话，魔方复初的循环遍数都一样吧？即，每次选取的“首”虽不同，相应的公式的阶是一样的，对吗？

Cielo

回楼上乌木先生：
1、从一楼的定义来看，我认为 circle0(A) 不是只单独一个变换，而是若干个变换构成的一个集合。

2、对，循环遍数是一样的。
对于 circle0(A) 中的任何一个变换 B，存在变换 C 和 D，使得 A=CD，B=DC，这样 Aⁿ=1 当且仅当 Bⁿ=1.

Iam氯化钠

一直重复一个OLL公式，最后还原，这个算不算循环？

ggglgq

　　
　　
  
    当然算“循环”了。
  
    但它们不是“循环变换”。
  
    “循环”与“循环变换”的共同点仅为：它们是值都为 1 。
　　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
    乌木 先生 156 楼所说的实际上是对“循环公式”的理解，基本上是
  
正确的。
  
  
    真是不谋而合呀， Cielo 对“循环公式”的理解是完全正确的。谢谢！
  
下面是我对 “循环公式” 的 简明解释，和 Cielo 157 楼理解的基本一致！
  
  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=58758&page=6#pid1119125
  
  
也就是说，“循环变换”是极其特殊的“循环公式”，它是值为 1 的 并且
  
所有半子变换都为最少步 的“循环公式”。
　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2010-9-6 09:06 编辑 ]