教你如何计算公式循环周期

pengw

公式还有最小循环周期？新奇！！说来听听

sokoban

<P>好帖子，顶一下。</P>
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<P>每个公式对应着魔方群里面的一个元素。</P>
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<P>什么都不做，也是一个公式，记做e，对应着魔方群里面的单位元。</P>
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<P>任何一个动作 g，总会有一个自然数n,使得使得g^n（g的n次方），也就是把动作g 重复n次后，回到初始状态。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>那么，这就相当于什么都没有做。</P>
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<P>所以 g^n=e </P>
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<P>在群论里面，把使得g^n=e成立的最小自然数n，称为g的<STRONG>阶</STRONG>。</P>
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<P>对于一个有限群。群里面每个元素的阶都整除这个群的元素的个数。</P>
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<P>3阶魔方群就是一个有限群，元素个数是 43,252,003,274,489,856,000 。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>所以每个动作的周期(或者说每个元素的阶)都是上面这个数字的约数。</P>
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乌木

不懂群论，只能问些小问题。

g是一个公式，其每一步都出现一个不同花样。你说g有它的阶。另外，我理解你说的每个元素指每个状态，因为你说（纯色）三阶的元素（即状态）数为4.3×10^19。后来你又说“每个元素的阶”，那么，是否有两种阶－－“g的阶”和“每个状态的阶”？

确切的说法是不是这样：指定的一个状态的阶，就是从（比如）复原态获得该状态的公式g的阶。你的“两种阶”只不过是一种通俗说法。对吗？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-6 09:39 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-9-26 12:44 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=250288&amp;ptid=10762" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
不懂群论，只能问些小问题。
g是一个公式，其每一步都出现一个不同花样。你说g有它的阶。另外，我理解你说的每个元素指每个状态，因为你说（纯色）三阶的元素（即状态）数为4.3×10^19。后来你又说“每个元素的阶” ...

<br>两种定义一样。因为等价公式的阶相等，且等于状态的阶。<br>

乌木

噢，是这样。那么，一个公式g有其阶，在做g的过程中，状态是一步一变，状态的阶也随着一步一变，只有当做好一遍g后，所得的态的状态阶才等于g的阶。意味着，从这态出发，按同样的步骤，再做n－1遍，状态回到做0遍g时候的情况。对吗？这阶是否就是外文资料中说的“order”？

earthengine

原帖由 <i>乌木</i> 于 2008-9-26 17:12 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=250497&amp;ptid=10762" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
噢，是这样。那么，一个公式g有其阶，在做g的过程中，状态是一步一变，状态的阶也随着一步一变，只有当做好一遍g后，所得的态的状态阶才等于g的阶。意味着，从这态出发，按同样的步骤，再做n－1遍，状态回到做0遍g时 ...

<br>我不是很明白你的问题。实际上，状态的阶意味着从复原态出发，到这个状态的任何等价公式的阶。这个在外文资料里的确就称为 order。<br>

乌木

原帖由 earthengine 于 2008-9-26 22:35 发表    我不是很明白你的问题。实际上，状态的阶意味着从复原态出发，到这个状态的任何等价公式的阶。这个在外文资料里的确就称为 order。

我的意思是，做公式g时的每一步，都有一个中间态；任意抽查一个中间态，到达该态的步骤也是一个公式，也有相应的阶。一步一态，相应的阶不断在变，等到g做完，阶就到达n。不难看出，任何公式的第一步（某一表层转90度）对应的阶为4。头二步对应的阶就有多种了，取决于头两步是什么样的两步。以后各步做好后对应的阶也是多种。不知有何规律？g的等价式很多，阶n一样，但中间过程的阶变情况不会一样。

每一步都是表层一转，对应于状态的环结构和环内色向和有所变化，也就逐步逐步直接影响阶的值。大概做公式时的中间过程的阶变就反映了状态的环结构等的变化过程。

当然，一般也就看看终态，求求g的阶n而已。好像讨论中间过程的阶变情况没什么大意思吧？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-6 09:43 编辑 ]

sokoban

<P><FONT size=4>如果知道g的阶为n</FONT></P>
<P><FONT size=4>那么中间的所有状态为e, g, g^2, g^3, ........ g^n=e</FONT></P>
<P><FONT size=4>对于每个中间状态 g^i , 其阶为&nbsp;&nbsp; n/(i,n) 这里 (i,n)表示 i 和 n 的最大公约数</FONT></P>
<P><FONT size=4></FONT>&nbsp;</P>
<P><FONT size=4>比如 g^2 的阶为 n/2</FONT></P>
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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-9-26 23:36 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=250878&amp;ptid=10762" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> &nbsp; 我的意思是，做公式g时的每一步，都有一个中间态；任意抽查一个中间态，到达该态的步骤也是一个公式，也有相应的阶。一步一态，相应的阶不断在变，等到g做完，阶就到达n。不难看出，任何公式的第一步（某一 ...

</P>

sokoban

<P><FONT size=4>比如 F的阶是 4</FONT></P>
<P><BR><FONT size=4>F2 的阶是 4/(2,4)=2</FONT></P>
<P><BR><FONT size=4>但F3=F' 的阶又是 4/(3,4)=4</FONT></P>

sokoban

<P>刚才好像理解错了，不好意思。</P>
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<P>单独的说，每一步的阶要么是4，如F，R等，要么是2，如果算上180度的旋转为一步。但是把这些单独的步复合成一个公式，阶就复杂了。</P>
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<P>一般地，两步的复合的阶，和他们分别的阶，没有必然的联系。也就是说我们找不到一个通用的公式，如果我们知道</P>
<P>A的阶为x，B的阶为y，马上就从x和y算出AB的阶。</P>
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<P>但是对于魔方群这个特定的例子，还是可以研究一下这个问题的，也许有一定规律。</P>
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原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-9-26 23:36 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=250878&amp;ptid=10762" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> &nbsp; 我的意思是，做公式g时的每一步，都有一个中间态；任意抽查一个中间态，到达该态的步骤也是一个公式，也有相应的阶。一步一态，相应的阶不断在变，等到g做完，阶就到达n。不难看出，任何公式的第一步（某一 ...

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[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-9-27 09:33 编辑 ]