关于1x3x3魔方状态图的详细思路（10楼再次更新！）

ggglgq

原帖由 noski 于 2009-7-31 16:17 发表
  
同时这个循环只有头和尾是自身。

　　
　　
  
    不错！我在这里强调一下，对于魔方的任何 循环变换、广义循环变换
  
都是如此。比如大家常提到的 遍历循环（最长的广义循环变换）均如此，
  
绝对不会出现“同一个状态出现一次以上的情况”！即在 各种循环 中，
  
每种状态只能出现 一次 ！
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-8-1 03:51 编辑 ]

乌木

那摩天轮的24个点子（大组）每一点代表四个小组，每个小组有四个“133魔方”的态。不过，每个小组重复参与了两个不同的大组，所以摩天轮含有24×4×4 / 2＝192个态，没错。也就是每个原始态重复参与两个大组，故每大组含有16个原始态。24×16 /  2＝192 。
我的问题是，大组和大组之间的连线可不像原始的态树的态态之间的连线，后者的连线每一根是确定的一个动作R或L或F或B，而大组大组之间的连线怎么可以标注L或F的呢？怎么理解摩天轮中的大组18经过动作L变成大组17？
大组18含有16个态：67，157，158，68，103，129，130，104，163，164，187，192，135，136，190，191 。其中只有103，129，190，191经过L进入大组17，（大组17含有的16个态为：50，51，183，182，115，188，189，116，163，164，187，192，117，141，156，118 。）大组18中其余12个态经过L进不了大组17。
这样，怎么理解大组18和大组17之间的连线旁的L呢？是否还是要回到原始态树中去找出有关的、具体的 (LF)6 循环来？比如，103－164－156－90－39－92－143－167－106－46－18－45－103这样的12个态的(LF)6 循环。或许这12个态正好历遍半个摩天轮吧？我没有具体去核实，太繁了。
如果我理解没错，是不是大组18和大组17之间的连线旁还可以据不同的具体问题标注别的动作的，对吗？

noski

您说的对，图上的路线还是这个路线，但图上的L和F却只是针对我举例的那个（LF）6这个特殊情况才标上去的，并不能表明组与组之间的联系是什么样的，也不能反映公式循环的一般情况。
还是要对照6楼的大图和9楼的棋盘图，看看状态 - 185 - 191 - 187 - 141 - 76 - 这个变化过程，才能明白魔方状态是如何在48分组和24分组之间变换的。

乌木

刚才想核实一下103－164－…………18－45－103这个（LF）6 循环是否在摩天轮中依次如图所示的粗红路线走，有点问题：态164在大组17，态156在大组4，但是接下去态90却不在大组7之中，那摩天轮的粗红线走不通了。态90在小组7之中，而小组7除了在大组4中外，还在大组8中。所以摩天轮的粗红线的头几步是否有误？是否应该为18－17－4－8－…………？或许，反过来，有些小组所含的四个原始态有误？比如，态90是否不该在小组7之中？也或许，上述表明，大组18之中103，129，190，191都是经过L进入大组17 的，是否103为首的走不通，另有别的（LF）6 循环是沿摩天轮的粗红线走的？

经摸索，129为首和190为首的（LF）6循环也都走不通粗红线；余下191为首的（LF）6循环顺利走通了，即摩天轮的粗红线例子要是代表（LF）6的话，是唯一的：191－187－141－76－32－78－152－168－124－61－132－185－191 （大组18，17，……14，18）。

看来，从大组18出发的四个（LF）6 循环应该走不同的摩天轮路线。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-1 21:49 编辑 ]

noski

十楼图的组红线，只对我举的那个例子有用。。
这个103－164－156－90－39－92－143－167－106－46－18－45－103循环，
先查它们的48分组：32 - 44 - 38 - 7 - 17 - 27 - 42 - 46 - 33 - 20 - 9 - 4 - 32，
然后分析它们的24分组，因为每个48分组有两个24分组，所以都列出来：
3/18 - 18/17 - 17/4 - 4/8 - 8/12 - 12/20 - 20/24 - 24/21 - 21/15 - 15/10 - 10/5 - 5/3 - 3/18，
这个循环就很明显了：
18 - 17 - 4 - 8 - 12 - 20 - 24 - 21 - 15 - 10 - 5 - 3 - 18，
因为走的路线不同，不一定走我十楼的粗红线，任一个顶点都可能被该顶点相对的那个点所代替，毕竟，两个相对的点是等价的啊。。

乌木

还有，在“133”魔方中，例如这个16步循环 RLFRFBRFBRBLRBRF，这个循环中除头尾状态一样之外，中间没有重复态，但好像无法写成（X）N （N≥2）的形式（？），它是不是就不算“合理的循环”了？

ggglgq

　　
  
    乌木 先生说的对，在 1×3×3 魔方中，变换 RLFRFBRFBRBLRBRF 的确是
  
循环（广义循环变换），但它不是 循环变换，因为其中 LFRFBRFB 不是最少步
  
变换！
  
  
  
  
   注： ( RLFRFBRF ) 2 、( BRBLRBRF ) 2 分别是 红圆 、蓝圆 循环变换，
  
P、Q 为 1×3×3 魔方中 互为最远状态 的两个状态点。 RLFRFBRF BRBLRBRF
  
（变换 M + 变换 N ）状态 P 沿 PQ、QP 回到 P 成为一个循环（广义循环变换）！
  
   
  
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-8-2 03:36 编辑 ]

乌木

还有，所得到的这样那样的网络图，其形状、连线等性质是主要的，有关的各个编号是有其前提的－－原始的态树编制时用的动作次序是R，L，F，B，才得到目前的各态的编号。如果一开始的动作次序改变，那时同样编号的态将和目前编号的态不同。对吗？可见，得到一种网络图后，如果上面有编号什么的，还得注明相应的原始态树构建时的动作次序。

noski

38楼的问题应该就是如39楼所说，是由两个循环组合起来的一个公式，至于这个循环叫什么名字，还得再好好定义一下。。不过我之前的说法，循环都可以写成（X）N这种形式，的确很不严谨。。我当时只想到了那种特殊的循环，而没有考虑你38楼给出的这种情况。。
至于这两种循环如何区别如何化简，我说不好。

回41楼，这1到192的编号，的确是按R、L、F、B的次序用程序搜索的，后来再遇到的同态就忽略不计的。但如果动作次序改变，虽然状态和编号的对应关系改变了，但是这些编号的结构是不会变的，因为魔方的每个操作都是等价的，所以，最多只影响到1楼那个状态表，和后来的图中的连线的颜色。
另外，如果得到一个网络图，那么根据魔方的状态、操作的等价原理，即使不在这个网络图上标号也是可以的。

乌木

39楼说的循环( RLFRFBRF ) 2 确实蛮有意思，这类循环与众不同－－不仅头尾同态、其余各态不重复，而且前半段变化模式（即步骤 RLFRFBRF ）和后半段的变化模式完全一样，难能可贵，怪不得得到g老师特别青睐。对比之下，循环( RLFRFBRF ) ( BRBLRBRF ) ，前一特点一样，但没有后一特点了。

联系到24楼的四维立方体的翻转变化动画，至少翻转变化的一个周期之中，前半段、后半段变化模式一样，制作该动画时只演示一半变化即可，看上去就像完整的周期在不断循环。蛮有趣。有人揭示了它只演示了半个周期这一奥妙，把图发给了我，现贴上来分享。
后一图只加了两根标记，如果32根棱都标记，动画也演示整个周期，那么，似乎和这里的（X）2 循环有相似之处－－头尾同态、其余过程无同态，变化模式也是（X）2 。只不过这图是连续变化而已。
      

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-8-3 10:09 编辑 ]