魔方贴色与最少步的关系

大烟头

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原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-29 11:28 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=226928&amp;ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 每个角块可以有4个位置，共2组，每个棱块可以有4个位置共3组。每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。至于方向，在复原态下方向是不能动的。于是得到对应于复原态的状态数＝4!^5/4 正常魔方状态数＝3^8*2^12*8!*12!/12 故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5) 考虑中心块方向的时候比较复杂，要取决于如何定义这个状态子集。这里就略去。

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<P>“每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。”能还详细解说下？“故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)&nbsp;&nbsp;”你这个答案与我计算出的好象不一样，是哪里有出入？</P>
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<P>我计算的结果是：</P>
<P>三色魔方总状态数＝[8！/（4！*4！）] * （3^7） * [12！/（4！*4！*4！）] * （2^11 ）* （3*2） / 24</P>
<P>＝3^8 * 2^12 * 8！* 12！/ (24*4！^5)</P>
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<P>这种三色三阶的中块、角块、棱块的位置变化相互间可以无关联变换。由于有相同贴色的块，所以单从外观上看这角块与棱块都可以独自完成两个块对换。</P>
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[ 本帖最后由 大烟头 于 2008-8-30 10:24 编辑 ]

earthengine

原帖由 <i>大烟头</i> 于 2008-8-30 10:01 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=227476&amp;ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

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“每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。”能还详细解说下？“故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)&nbsp;&nbsp;”你这个答案与我计算出 ...

<br>仔细考虑之后，发现你是对的。我的错误在于误以为180状态集就是复原态三色魔方状态集，其实不然。<br><br>首先，并不是所有的复原态三色魔方状态集都对应合法的状态。比如，在三色还原态下单纯调换两个面对角线上的角块，得到的仍然是三色还原态。这说明三色魔方装配状态数可以包含一些在全色下非法的状态。但是，色向的错误是无法校正的，因此状态的数目要加倍。<br><br>其次，即使仅考虑全色状态集里合法的状态，调换两个面对角线上的角块和同一面上两个相对的棱块，这在180度子集下是不可能还原的，但仍然是合法状态。状态数目再次加倍<br><br>所以我想，如果讨论的是“合法装配状态“数目，那么答案应该是：<br><br>不考虑位置错误的魔方状态数=3^8*8!*2^12*12!/6 (角块方向＋角块位置＋棱块方向＋棱块位置／角块方位正确＋棱块方位正确）<br>其中三色复原态状态数=4!^5（5组块独立变换，色向全部正确）<br>于是三色魔方装配状态数目是3^8*8!*2^12*12!/(6*4!^5)<br><br>这个数字好像是你计算结果的4倍。当然我这里是以中心块为坐标了，而你用了角块参照。但是最后除以２４一般是没有参照的时候才要，你这里有参照，所以为何最后要除以２４呢？要是不除这个，那么就变成你的是我的６倍。采用角坐标的时候，是否应该除以６而不是２４呢？<br><br>再仔细想了一下，发现原来是这样的：<br><br>在正常魔方里面，要是固定一个角块，剩下只有７个角块，于是原来８！要除以８，同时角块本身方向已经定死，所以再要除以３消去该角块的方向变化。但是在三色里面，固定一个角块把数目从８!/4!^2变成7!/(4!*3!)。分子减少到８分之一，分母则减少到４分之一，因此只要除以２。所以消去方向变化之后，正好只要除以6。于是两种计算法就一致了。<br>

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-30 16:35 编辑 ]

pengw

贴一种色，魔方最小步是零步，哈哈哈