关于魔方最少步数的问题

lulijie

某个角块，被转动了奇数次，要回到原位，也必须转动奇数次；若被转动了偶数次，要回到原位，也必须转动偶数次。这是对的。
但某个角块转动步数的奇偶性又如何与总步数的奇偶性发生关系呢？总步数的每一步并不是都涉及到这个角块的转动。

乌木

“从X0，经过R2旋转所成的状态X，它是2步态。最短路线不是只要1条，而是2条：RR和R‘R'。”

嗯，细说起来，我认为最短路线应该是沿态树原路逆步骤下树。RR和R'R'是同态，在态树上只保存一个，若保存在“树枝”RR上的话，“树枝”R'R' 就被剪枝得成为R'了；若保存在R'R'上的话，RR被剪枝得成为R了。这样原路逆步骤下树就只有一条路线了。
当然，这并不排斥另一条路线，我这样解释仅仅是为了让这类特例与一般情况一致而已。为了走另一条等价的路线下树，似乎要对态树来一次重整，包括它的一大批后代也要全部跟着迁移，有点劳民伤财。所以，还是约定沿原路的逆步骤下树作为最短路线较好。如果脱开态树，单独面对一个RR态，确实有两条最短复原路线。条件不同而已。

至于我对“不是……就是……”的议论，倒不是否认你1楼的说法，而是进一步肯定，目的是否定33楼说的“Y既是N+1，又是N-1”。因为我认为态树上Y只有一个位置，它有同态的话，已经往下合并了，故不能说它既是N+1，又是N-1。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-15 08:51 编辑 ]

乌木

此事我也弄不大清，各位看看我的认识对不对。
每转一步魔方状态切换一次奇偶性；细分着看，可以按照角块簇、棱块簇和中心块簇分别看。某一转虽然没有涉及某个角块，但总是有别的四个角块动了，整个角块簇的奇偶性就切换了。即使自始至终某一角块毫发未动，整个角块簇的奇偶性照样还是一转一切换。某一不在复原位置的角块，它必定参与着某一位置循环，接下去它即使始终不再动，很可能它原来所在的位置循环变了；即使它的原循环始终不变，整个角块簇的奇偶性必定仍然每转有切换。
对于棱块簇、中心块簇，类推。

至于“某个角块转动步数的奇偶性又如何与总步数的奇偶性发生关系呢”，我就不懂了，至少两者可以无关的吧？比如，只许动右层、前层和底层的话，2号位的角块的移动步数始终为0，整个魔方或整个角块簇的奇偶性一转一切换地忙乎着，2号位角块独自睡大觉。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-15 09:07 编辑 ]

棉花糖three

理论家   加油~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ggglgq

原帖由 骰迷 于 2009-1-12 12:46  只要定點時角度為45度，便不存在其他解  发表
昨晚睡覺前想了一下，發現上帖的第二種解並不存在。
只要定點時角度為45度，便不存在其他解。
大家想像想像，要是那三點位於三條菱上，而那些菱相交於一點上，
那麼那三條菱相交的角度則並非90度，亦即不能形成直 ...

原帖由 骰迷 于 2009-2-13 21:12   奇偶性的問題  发表
是不是要先證明從X0到X的步數只能是單數/雙數，不能是另一種？就是奇偶性的問題。
證明了這點，其實就完工了吧。
我基礎不好，還沒上高中，不會搞證明題，錯了請勿笑我。還請小籠包來跟LZ討論討論。
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　　由 骰迷 上面几帖足可以看出 骰迷 的数学潜能，日后必定 大有作为 呀！
　　
　　什么叫魔方的“奇偶差异性”呢？ 先举一个这两天大家讨论过的例子：　　
　　　　
　　  移动数字的问题　http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=21477　
　　　　
　　“移动数字的问题”实际上就是 “奇偶差异性”魔方 的特例。　　
　　
  
　　
　　
　　
　　
　　

ggglgq

　　  
  
  
    相关 “奇偶差异性”魔方  的  定义、性质、判定  等内容，请大家参考：
  
         各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质
   
     http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7532
  
  
  
    因为 正六面体三阶魔方是的“奇偶差异性”魔方，因此楼主的命题成立！
  
  
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    顺便指出一点： 如果一个正六面体魔方不是“奇偶差异性”魔方，那么该命题
  
不成立！
　　　　
    请大家参考：正六面体四轴二阶魔方、正六面体八轴二阶魔方
  
      http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=2922
  
  
  
  
  
    设 X = (由复原态进行操作 1 的变换) (最少步数为 1 步)，X0 = (复原态)
  
       Y = (由 X 进行操作 1 的变换) ( Y 是 X 旋转 1 步所成的状态)，
  
　　但结果是：  Y 复原成 X0 却仍可由操作 1 的变换得到 (最少步数为 1 步) 。
　　
　　
　　
　　
　　　　　　
　　　　
　　　

骰迷

SKEWB一個最短不重複（即是非R R'此類，允許RR）循環是三步，六軸魔方的最短不重複循環是四步，計算SKEWB的奇偶性是必定無用的。
原來魔方理論那裡早給出答案了，看來什麼時候要到那裡學習學習了。

Cielo

呵呵关于奇偶性的问题理论区应该讨论过不少吧！

比如此帖《求证：三阶任意一次90度转动改变簇奇偶性》
http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... tra=page%3D3&page=1

lulijie

鄙人对魔方理论非常无知，什么  簇、态，循环变换等等，如听天书。
看了版主 各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 里的对序列逆序数、奇偶性的定义，立即觉得有种豁然开朗的感觉。
虽然没有看完版主后面的叙述，我已有了自己的一些看法和认识，请大家指教。
对于普通的正六面体3阶魔方。按照中间层不允许转动的规定，一共只有12种转法。
6个中心块：无论如何旋转位置始终不变，不予考虑。
8个角块：给8个角块编号以区别（1、2、3、4、5、6、7、8）我们按照这8个角块所在的位置，按顺序排成一个序列，用该序列代表该魔方角块状态（对于目标状态，序列排列为12345678，该目标状态对应的序列的逆序数为0）。
魔方角块的一个状态X（8位数的一个序列），一步转动后形成新的状态Y，对比前后两个序列，该转动实际上就是序列中的4个数字循环交换位置（比如4→3，3→7，7→8，8→4）。N个数字循环变换，实际上就是N-1个两两互换（比如，先4←→3，再3←→7，最后7←→8），而每一次两两互换，必然造成序列的逆序数的奇偶性发生变化，故N个数字循环变换，相当于N-1个两两互换，故N为偶数，则序列的奇偶性发生变化；N为奇数，则序列的奇偶性不发生变化。同移动数字的问题贴中，骰迷判断数字九宫排列的奇偶性非常相似。
        魔方的一步转动，是序列中的4个数字循环交换位置，N=4为偶数，故序列的奇偶性发生变化。
        也就是说，魔方的每一步转动，对角块的奇偶性（角块的奇偶性即角块对应序列的奇偶性）发生的变化，所以魔方偶数步打乱，也必须偶数步还原，奇数步打乱，也必须奇数步还原。
12个棱块：同理，对棱块的位置也可用序列来分析，得出与上述相同的结果。
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综上所述，骰迷的结论  魔方偶数步打乱，也必须偶数步还原，奇数步打乱，也必须奇数步还原。 是正确的。
所以本贴的魔方状态X和Y（Y由X的一步转动而得）的最少步数不可能相同。
                  





[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-15 15:32 编辑 ]

lulijie

对于  奇偶差异性魔方” 的定义：
我觉得不必采用
     不存在步长为奇数的循环变换    来定义。
只要定义：   魔方的每一步转动 ，若造成全是 偶数个同类块轮换，就是奇偶差异性魔方，若存在奇数个同类块轮换，就是非奇偶差异性魔方。 （ 例如所有的角块都是同类块，所有的棱块也都是同类块）
例如：普通魔方，每一步转动，都造成  4个角块轮换，和4个棱块轮换，所以必然造成序列的逆序数奇偶性发生变化，所以必是奇偶差异性魔方。
而其他魔方，若存在某一种转动，造成的是  奇数个角块轮换或奇数个棱块轮换或奇数个同类块轮换，那么不造成序列的逆序数奇偶性发生变化，所以它们就不是奇偶差异性魔方。