二阶魔方的最远状态 (第11步)

黑王子

本话题所得结果使用数据库软件VFP70,一个状态当时只保留一种步法.50楼所述情况是不同时间所编程序造成的.后期的程序更优化和快速些。所以，到达某一状态的路线之前有一定的随机性.

也许乌木先生所说每种最远状态都有12种步法是正确的猜测也不定!

请有兴趣的朋友参与研究并提出意见和建议! 多谢参与!

[em06] 我还没操作几个步法呢!

[此贴子已经被作者于2006-4-4 21:50:31编辑过]

乌木

也不知道从47楼所给的36个花样中我们可得出些什么样的规律之类的东西：

乌木

为了找规律，按一定规律重新排列一下。可以初步看到，2阶最远态中，36个两面同色态非常有规律，非常漂亮：

[此贴子已经被作者于2006-4-5 18:20:10编辑过]

乌木

49楼表明，第10步的3面同色态的每个态（至少）有3条路线可到达。这个计算软件很卖力！

还未细看，从第1个花样的3条路线看：

右2 下+ 后+ 右－下2 右+ 下－ 右+ 后+ 下2
右－ 后+ 右－ 下2 右+ 后－ 右－ 下2 右2 后－
下2 后－右－下+ 右－ 下2 右+ 后－ 下－右2

这第1、3条公式互逆，得到同一花样！若按第2条公式的逆步骤做也得同一花样！（均指从复原态出发。）

再看第2个花样：

右+ 下－右+ 后2 右－下+ 右+ 后2 右2 下+
右－ 后+ 右－ 下－ 后2 右2 后－下－ 右+ 后2
下+ 右2 后2 右+ 下+ 右－ 后2 右+ 后－ 右+

这第3个公式差一点就是第1式的“倒式”（不是“逆式”）！而且，与第1花样一样，第2花样的三个公式的逆公式都得到同一花样（均指从复原态出发）！

还有22个花样的公式有何好玩之处，待我慢慢看来。

[此贴子已经被作者于2006-4-6 10:12:00编辑过]

乌木

又看了几个49楼第10步的3面同色态，还未全看完，似乎已可估计都是对换相邻的两个块。每一面的四个块可组成四对邻块，六个面共24对邻块，所以分别互换后就得24个3面同色花样。一对邻块互换后，这两个块每块有三种取向，组合之后只有两种属于第10步3面同色的。一对邻块属于两个面共有，但由于这两个块有（也只有）两种取向归属于第10步3面同色，所以上面计算（即4×6＝24）中每一对邻块被计算两次是对的。

[此贴子已经被作者于2006-4-6 11:04:32编辑过]

乌木

您看看，49楼的24个花样这样排列一下是否好看一些：

[此贴子已经被作者于2006-4-6 22:53:50编辑过]

ggglgq

以下是引用黑王子在2006-4-3 18:10:41 48楼 的发言：

二阶魔方状态归类程序 编制时间: 2006.04.04
(2) . 第07步 3色面状态及及一些最小步数方法 19:38:21

1 ABCFEDNHMZWJGSQRPLXYK 右2 后- 下2 后2 右2 后- 右2
2 ABCKENJHGDSPFMQRLZXYW 后2 右+ 下2 右2 后2 右+ 后2
3 ACBDYZGHJKLNMWXRSPQEF 后2 下+ 后2 下2 右2 下+ 后2
4 AKLFDENHMZWXYQSRPCJGB 下2 后+ 下2 后2 右2 后+ 右2
5 AZWDFEGHJKLXYQPRSCMNB 下2 后- 下2 后2 右2 后- 下2
6 AZWEFDYHXBCJGSPRQLMNK 右2 后+ 下2 后2 右2 后+ 下2
7 BACDEFPQJNLMKGHYZWXRS 右2 下+ 后2 下2 右2 下+ 右2
8 BCADRSPQJNLKMWXYZGHEF 后2 下- 后2 下2 右2 下- 右2
9 CABDYZWXJMLNKGHEFPQRS 右2 下- 后2 下2 右2 下- 后2
10 LMCKENHJGRSPQBFDAZXWY 下2 右- 下2 右2 后2 右- 后2
11 SPCDEFHGJRLMQBNKAWXZY 下2 右+ 下2 右2 后2 右+ 下2
12 SPCREQJGHDABFMNKLYXZW 后2 右- 下2 右2 后2 右- 下2

以下是引用乌木在2006-4-6 22:52:39的发言：

您看看，49楼 的24个花样这样排列一下是否好看一些：

感谢 黑王子、乌木 先生做的工作，非常体谅 黑王子 先生编程的辛苦。我准备也 编写
一个 能同时测试 二阶魔方 旋转 90 度 或 180 度为 一步 的最远状态，并且要 消除 由于
旋转、对称产生（如 48 楼、49 楼 等等）的“同态”！

哎，没时间呀，可能要等到 5、6 月以后才能出结论，也可能要等到 7、8 月了。希望
有时间、有能力的程序员一起努力吧（二阶魔方的遍历程序应该很简单的，请大家不要怕）。

ggglgq

以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言：

十二、“广义循环变换”的定义及应用

3.“广义循环变换”的几个应用：

定理：对于只有 [偶] 广义循环变换的魔方来说，唯一最少步变换 将随着
步长的增加，最终 [全部都] 变成 [不] 唯一的最少步变换。

要证明上面的定理，只要证明下面的定理即可！

定理一： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。

证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ，
使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax
并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。
假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的
长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换，
假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x），
则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ，
a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ，
设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。
因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而 变换 B 又由 d 开始，
故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ，
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换，
故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换，
又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。
（若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d)
构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方 矛盾。）
因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1)
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换，
所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。
（若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x
即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为一个长度为 x 的最少步变换 矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换，
亦得矛盾。）
即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ，
所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。
又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。

同理，再由“有效变换的定义”可证得：
定理二： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。

本人编写 二阶魔方 旋转 90 度 为 一步 的最远状态 的目的 就是为了验证上面的定理，
因为 旋转 180 度也算 一步 的最远状态 不符合 或 不易观察 上面的定理。在此请 黑王子
先生不要介意。

乌木

48楼2阶7步的3面同色花样规律也很漂亮：

乌木

它们的规律就是，与六面复原态相比，把前面的左列两块和右列两块对换，同时让前色分别朝左右方向。例如，大多采用的六色配置方案（上红下橙左蓝右绿前白后黄）时，9号图就是把前面的白蓝列和白绿列对换。六面复原的魔方整体向左（或右）滚翻90°后，变成前白上绿左红（或前白上蓝右红），做同样的7步操作，即得10号图。六个面轮流向前，一共可得12个花样，但是只要用同一个公式9。（楼上的图画出时则要把魔方调整一下取向，以求12个图统一格式。）“魔方变向、用一个公式”的效果和“魔方不变向、用12个不同的公式”的效果完全一样。

[此贴子已经被作者于2006-4-7 16:14:19编辑过]