魔方吧·中文魔方俱乐部

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 魔方
查看: 2054|回复: 7

三阶魔方的中心块有多少种变化? [复制链接]

Rank: 4

积分
2550
帖子
2224
精华
1
UID
4575
兴趣爱好
其它

十四年元老

发表于 2016-1-26 20:05:03 |显示全部楼层
图案三阶魔方的中心块有多少种变化?24、2048、4096?

Rank: 8Rank: 8

积分
17975
帖子
16415
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2016-1-26 22:13:15 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2016-1-27 06:13 编辑

是否这样考虑:
如果图案三阶魔方的每个中心块都可以看得出有四个方向的变化;如果问它们共有多少种变化这个问题的前提是,不影响角块和棱块的原状,而且不考虑中心块组的整体运动(即魔方的变化不变化是相对于中心块组而言的,参照物是中心块组),那么,六个中心块自转度数之和应该是90°的偶数倍。
本来,不管角块和棱块有无变化的话,每个中心块自转方向变化数是4,六个中心块的变化总数就是4^6=4096。但是,其中一半是对应于偶数倍90°,另一半是对应于奇数倍90°。
所以,满足上述条件的中心块方向变化总数只是2048。

进一步想想,是否是这样的关系:
中心块自转度数为偶数倍90°的2048个中心块状态,是和(4.3×10^19)/2 个偶态角块和偶态棱块的状态组合的,得到相应的变化数为2048×(4.3×10^19)/2。
中心块自转度数为奇数倍90°的2048个中心块状态,是和(4.3×10^19)/2 个奇态角块和奇态棱块的状态组合的,得到相应的变化数也是2048×(4.3×10^19)/2。
两者之和就是“图案三阶魔方”的总态数:2048×(4.3×10^19)/2  +  2048×(4.3×10^19)/2  = 2048×(4.3×10^19) 。
所以,由中心块自转引起的因子只是2048 。

至于那个24,是参照魔方的环境时,魔方整体取向的变化数,也就是中心块组取向的变化数。如果固定角块-棱块的状态,中心块组相对于角块-棱块的变化数,只有12(即三个方向的相对旋转累计偶数次90°),另外12种变化(相对旋转奇数次90°)是转不出的。

使用道具 举报

Rank: 4

积分
2550
帖子
2224
精华
1
UID
4575
兴趣爱好
其它

十四年元老

发表于 2016-1-27 09:51:55 |显示全部楼层
本帖最后由 黑白子 于 2016-1-27 19:07 编辑
乌木 发表于 2016-1-26 22:13
是否这样考虑:
如果图案三阶魔方的每个中心块都可以看得出有四个方向的变化;如果问它们共有多少种变化这 ...


也就是说,中心块可以转出4096种状态,其中一半是偶态,一半是奇态。若以环境做参照物,状态是24*4096/2=24*2048=12*4096种。

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
17975
帖子
16415
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2016-1-27 10:38:56 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2016-1-27 12:43 编辑

3楼说:“若以环境做参照物,(图案三阶中心块的)状态是12*2048种。”
参照中心块组时,纯色三阶的总态数是(4.3×10^19) ;若以环境做参照物,纯色三阶魔方的总态数是24×(4.3×10^19) ;若再多一个变化因素——中心块自转,则总态数是否变为 2048×24×(4.3×10^19) ?
即中心块组的整体旋转包含在 纯色三阶魔方的总态数 24×(4.3×10^19) 之中了,即魔方的整体旋转也就是中心块组的整体旋转,这里的 “24” 既是魔方转,又是中心块组转。这样,若要在这种情境下单独讲图案魔方中心块的变化数,那就是2048×24了,不是“12*2048种”。
不知我这样想对不对?

至于这个“12”,是中心块组相对于角块-棱块框架的旋转变化数,且是固定角块-棱块后得出的;而这个工作在以前计算纯色三阶参照中心块组时得到的(4.3×10^19)之中已经考虑过了。中心块组相对于角块-棱块旋转,就是角块-棱块相对于中心块组旋转,采用了(4.3×10^19),就不能再采用12 了。

使用道具 举报

Rank: 4

积分
2550
帖子
2224
精华
1
UID
4575
兴趣爱好
其它

十四年元老

发表于 2016-1-27 19:16:59 |显示全部楼层
乌木 发表于 2016-1-27 10:38
3楼说:“若以环境做参照物,(图案三阶中心块的)状态是12*2048种。”
参照中心块组时,纯色三阶的总态数 ...

角块的状态数是8!*3^7,棱块的状态数是12!*2^11,两者都是位置状态数乘以朝向状态数。然而,心块状态数是24*4^6/2,为什么心块状态数是是位置状态数乘以朝向状态数的一半呢?

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
17975
帖子
16415
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2016-1-27 20:21:05 |显示全部楼层
黑白子 发表于 2016-1-27 19:16
角块的状态数是8!*3^7,棱块的状态数是12!*2^11,两者都是位置状态数乘以朝向状态数。然而,心块状态数是 ...

其实,3^7 和 2^11 的由来是:
角块状态数是(8!×3^8) /3,乘以1/3是排除了转不出的2/3的角块色向态;
棱块的状态数是(12!×2^12) /2,乘以1/2是排除了转不出的1/2的棱块色向态;
中心块状态数24×4^6 / 2,乘以1/2是排除不可能的偶态中心块组合奇态角块-奇态棱块以及奇态中心块组合偶态角块-偶态棱块,这已在2楼论述了。
不知可不可以这样论述?

使用道具 举报

Rank: 4

积分
2550
帖子
2224
精华
1
UID
4575
兴趣爱好
其它

十四年元老

发表于 2016-1-27 22:18:08 |显示全部楼层
乌木 发表于 2016-1-27 20:21
其实,3^7 和 2^11 的由来是:
角块状态数是(8!×3^8) /3,乘以1/3是排除了转不出的2/3的角块色向态; ...

当然可以,有趣的是,角块和棱块各自的色向和为零。心块色向和可为零,也可以是180度,与前二者性质不同。

使用道具 举报

Rank: 8Rank: 8

积分
17975
帖子
16415
精华
9
UID
449
性别

魔方理论探索者 论坛建设奖 爱心大使 十年元老

发表于 2016-1-28 10:18:44 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2016-1-28 12:38 编辑
黑白子 发表于 2016-1-27 22:18
当然可以,有趣的是,角块和棱块各自的色向和为零。心块色向和可为零,也可以是180度,与前二者性质不同。 ...


是蛮有趣。
三阶图案魔方角块簇和棱块簇无论在偶态之时还是在奇态之时,色向和始终保持为零,但中心块的方向之和的变化看来与之并不协调。
看来要从另一角度来比较:
角块和棱块在偶态时,都含有偶数次二交换,同时中心块含有偶数个90°自转;
角块和棱块在奇态时,都含有奇数次二交换,同时中心块含有奇数个90°自转。
这样,三者就协调了。
如果要问中心块的方向变化和角块和棱块的奇偶变化(与块的位置变化有关)怎么可以放在一起比较呢?
表层的旋转决定了中心块的方向变化;表层的旋转虽然会使角块和棱块的色向有变化,但角块簇和棱块簇的色向和始终不变,表层旋转却决定了角块簇和棱块簇的奇偶性。既然都是由表层旋转直接引起的,还是把中心块的自转方向变化和角块棱块的奇偶变化比较吧。
我这样说好像有点强词夺理。

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

Archiver|手机版|魔方吧·中文魔方俱乐部

GMT+8, 2022-11-29 11:57

Powered by Discuz! X2

© 2001-2011 Comsenz Inc.

回顶部