魔方中心块理论，以及15数码问题，以及对仅转180°将单面中心块旋转180°之否定

老熊

本人最近学习《近世代数》，发现乌木老师提出的[求助]打乱、复原限180°转的心块问题问题，可以利用其思想解决，不过贴子已老，我就新开一贴来研究、讨论一下。

首先问题『如果打乱和还原时只能用180°转动，那么，在基本上复原之时，会出现仅仅某一个中心块要求旋转180°的状态吗？』的答案是否定的，是不能的，用群论的语言说这是一个『奇置换』，但是复原状态是『偶置换』。且听我慢慢说。

我们仅仅看角块，在仅允许转动180°下，8个角块被分为两个『轨道』，若正方体被标记为ABCD-A'B'C'D'，那么这两组分别为

轨道1：A、C、B'、D'
轨道2：B、D、A'、C'

每转动180°每个角块仅仅在轨道内部变换，也就是说轨道2的任何一个角块都不会跑到轨道1里去。而且每转动180°，这必然引起每个轨道内部某两个角块交换，例如U2将

A、C、B'、D'
B、D、A'、'C'

变为

C、A、B‘、D’
D、B、A'、C'

需要指出的是，任何一个置换都是一些交换的复合，这种分解不是唯一的，但是分解出来的数量的奇偶是不变的（可以利用线性代数里的逆序数的奇偶性来证明）。根据这个结论下面我们就来证明不能仅仅转动某一面中心块180°，

假设可以，则自然这条公式的最终结果是不引起轨道中角块的变化，所以这条公式必然是偶数次转动180°，然而仅仅转动某一面中心块180°则需要奇数次转动180°，这是矛盾的。


另外，我再介绍一些关于奇偶性的其他应用，我们可以类似上面证明3阶魔方中不存在仅仅将一面中心块旋转90°的公式（相信这也是大家所熟知的）

另一个有趣的应用是15数码问题(15-puzzle)，有兴趣的吧友可以搜索了解更多，规则很简单，类似于华容道，相信很多手机里也有，著名的谜题发明家Sam Loyd曾提出问题，能否将解开下列初始情况

1   2   3   4
5   6   7   8
9   10 11 12
13 15 14

貌似还设立奖金（当然这当然是促销的阴谋）。当然这显然是不可能的，因为我们考虑下图，将各种状况按『空格』位置分类



每次移动相当于让『空格』和一个块交换，到达相邻的一个位置，不管怎样，我们的『空格』从右下角出发最终回到右下角，向左走的步数应该与向右走的步数相同，向上走的步数也与向下走的步数相同，故一定走了偶数步。而我们知道，我们将1~15连同『空格』视为整体的话，每次引发一次交换，而将14和15交换显然是奇数次交换才能解决，这样就矛盾了。


嗯……我也就想到这些应用。在本贴中已经尽量避免了使用术语进行讨论，尽量通俗易懂，专业人士莫见怪。欢迎讨论。

qinyaoxi

认真的看完，表示完全不懂……

乌木

楼主说的角块的两个轨道是否下图的紫色四角和天蓝色四角？
播放下面的java图可看到，在一系列表层180°转之中，两个轨道的角块不会互相串门。
看不到java图的话，给出一个屏幕截图。

老熊

乌木 发表于 2016-8-3 09:38
楼主说的角块的两个轨道是否下图的紫色四角和天蓝色四角？
播放下面的java图可看到，在一系列表层180°转之 ...

是的~就是这样，

乌木

老熊 发表于 2016-8-3 12:01
是的~就是这样，

噢。
那么，只用表层180°打乱和复原，当角块和棱块复原后，中心块旋转180°的中心块数目是偶数个的情况，就应该是可能的。
对吧？

redcarrot

丘成桐先生主编的《数学与人文》系列中的某一本儿（暂时想不起来是哪一本了……）里面比较系统详尽地分析了15 puzzle的问题，可以参考参考。

mofang0

我怎么都不懂的。。。