Deeper-than-origin设计与Complex puzzles

redcarrot

这一篇和上一次写的Rhomdo Transformer性质上有点像，不过不同的是，上一篇算得上综述的话，这篇可能只能算是“读书笔记”，内容也要困难得多。其实这一篇大概一个月之前就完成了70%了，只是一直没时间完成。

Deeper-than-origin（切割深过轴心）和Complex puzzles（“复”魔方）都是较为现代的魔方设计概念。两者有一定的交叉，却又有很大的差别。希望我的“读后感”能够让大家在魔方的世界中欣赏到更多。

我们先来考虑一件事：我们知道，传统上切割深度的极限是对半切：比如二阶、斜转、Pentultimate、Little Chop以及尚不存在的Big Chop分别是六轴、八轴、正十二轴、菱十二轴、菱三十轴的对半切产物。这些魔方的切割线刚好经过了轴心原点（Origin），即几何体的中心。一个很自然的想法是，有没有可能出现深过轴心原点的切割？（关于对半切魔方，可以参考http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=107009）

我们先在普通的三阶魔方上看看这个问题：如果认为它的切割是深过轴心原点的，每一步的转动都是双层转(Rw, Uw, Fw, ……)。然而，这么看待问题没有任何的好处，每个双层转总是能够看成是对面的单层转加上一个转体。因此，普通三阶魔方我们没有必要把它看成拥有深过轴心原点的切割。

我们可以试着看看这个魔方：2012年Oskar van Deventer的Enabler Cube。它的工作方式是，只有特殊形状角所在的层是可以转动的。也就是说，初始状态下，红、绿、黄三个面可以转动，其它三个面不能；在右图状态下，红、绿、看不见的白面可以转动，其它三个面不能。一种看待它的办法是看作一种特殊的三阶捆绑；然而事实上我们还有另一种看待方式：握住特殊角不动，此时Rw, Dw, Bw三种转动永远是畅通无阻的。或者换句话说，特殊角变成了“轴”的一部分。这样这三个切割就变成了深过轴心原点的切割，即Deeper-than-origin cut。很明显，这么看待这个魔方自然的多。

同样的，Oskar在2014年的作品Deep Cube是做出了一个特殊1x1x3块，使得魔方只有Rw, Bw两个旋转。

通过简单的分析，我们知道，在Enabler Cube与Deep Cube中，角块的解法和（捆绑）二阶魔方别无二致；然而，看起来和三阶棱块一样的部分，解法上和普通的三阶棱块完全不同。我们暂时地回到普通三阶魔方上，只考虑Uw, Dw, Fw, Bw, Lw, Rw六种双层旋转。此时，每个棱块在4个旋转面上：以UF棱为例，转动Uw, Fw, Lw, Rw都会影响到它；而用通常的观点去看待它，只有U, F两种转动会产生影响。同样的，考虑中心块（不想象它们实际上与一个轴相连），每个中心块在5个旋转面：以U面中心块为例，转动Uw, Fw, Bw, Lw, Rw都会影响它（位置或方向）；而用通常的观点去看待它，只有U这种转动会影响它（的方向）。我们不妨称此时的棱块和中心块为反棱块(inverted edge)和反中心块(inverted center)。

类似的，我们自然想知道，有没有可能在三阶魔方上“做出”其它块来。按照“转动几个面能影响一个块”来分类，我们可以有如下10种数学上可能存在的块：
0个面：普通三阶的轴
1个面(U)：普通中心块
2个面(U, F)：普通棱块
2个面(U, D)：还没命名的块
3个面(U, F, R)：普通角块
3个面(U, L, R)：命名为“Triwall”
4个面(U, F, L, R)：“反棱块”
4个面(U, D, L, R)：还没命名的块，与(U, D)块恰好相反
5个面(U, F, B, L, R)：“反中心块”
6个面(U, D, F, B, L, R)：“反轴”

其中，普通三阶的4种块（轴、中心、棱、角）我们称它们是“实”的(real)；其余6种（反棱、反中心、反轴、Triwall和剩下2种还没命名的块）称为“虚”的(imaginary)。10种块合在一起，就构成了一个“复”的三阶——Complex 3x3x3。虚块的概念是由Matt Galla首先提出的。很明显，实、虚、复是借用了数学上实数、虚数、复数的概念。

上面这些并没有再采用Rw, Uw的记号，因为此时我们不是只考虑普通三阶的模型，在deeper-than-origin语境下，之前的Rw, Uw就是外层转动，记为R, U也是恰当的。事实上，TP的“理论家”们交流时不会用到“面”这个概念，也不是用“转动轴”，而是“grip”（握）。在三阶魔方上，grip就是六个面。之所以用到这个概念是因为斜转、直升机等魔方转的是角、棱而非面，grip大概有“拿着转的地方”的意思，因此被广泛采用了。相应的，复三阶的每个块也有了自己的“grip表示”（grip notation），即用它们所在面（grip）的集合来表示，。如三阶角块之一是{U, F, R}， 反棱块之一是{U, F, L, R}。不能看出，复三阶的每个块事实上就是{U, D, F, B, L, R}的一个子集，也就是说，复三阶的块构成的集合就是{U, D, F, B, L, R}的子集集合，即幂集。

（上图比较形象地展示了什么是Grip，以三阶魔方为例。右图中两个grip染成红色，表明一个grip notation，就是三阶魔方的棱块）

redcarrot

咳咳，现在理论有了，实际上这样的“复三阶”能否被设计出来呢？Oskar的两个捆绑的版本我们已经见到了，后来其他人也做过一些新尝试。比如今年早些时候Sam Jiang制作的Matryoshka Cube，就是普通三阶捆绑与Enabler Cube的一个“多重”魔方，同时保留了棱块与反棱块。事实上，如果采用夸张的弧切割，是可以同时做出棱块与反棱块的，可惜的是暂时还没有人做出来。

现在我想引入一个概念——隐形捆绑，即魔方结构上不相连的两个块，本质上相对位置不会变化。在我的印象里，第一个引入这种捆绑的是四阶魔中魔二号的月牙块——图中标明的两个月牙块无论转动哪一层，都是同时移动的，因此它们实质上可以看成是一个块。类似的，在三阶魔中魔（全0面）中，中圈内棱每四个一组等价于中心块，中圈内角每两个一组等价于棱块。

可以看到在上面两个例子中，我们并没有引入新的块，而是给一些已经存在的块找到了等价表达。然而，在量产魔中魔之中，八面体全0面魔中魔（金星号）尤为特殊：内圈的角块两两“隐形捆绑”。普通的角块在转动相邻四个面时都会被影响，而内圈的角块组在转动间隔的两个面时会被影响。这种块在普通的直线切割中是找不到的。

利用“魔中魔”的思路，我们就可以在魔方上引入本来“不该有”的块。比如Ben Streeter在2017年设计的魔中魔版本的Deep Cube——Imaginary Cube，首次引入了Triwall块。具体的对应关系如下图：

当然，隐形捆绑不一定非要和魔中魔扯上关系，也可以是其它本身不相连而在转动中相对位置保持不变的块称作隐形捆绑。早在2009年，Carl Hoff就找到了真正实现Complex 3x3的方法：对五阶进行限制转动。并且，在2017年，他终于实现了夙愿，制作了现实版本的复三阶魔方。

首先他考虑的是一个“完整”版本的五阶，或者说“实”的五阶：除去常见的五阶可区分各个中心块外，他眼中的五阶还要内部存在一个完整的三阶魔方，即，真正是125个“小方块”组成的五阶魔方。然后，他考虑的6种旋转为：
U MU, D MD,F MF, B MB, L ML, R MR，即外层和中层的同时旋转。（这并非WCA采用的记号，WCA记号下应该是L 2Lw’ 3Lw等）现在，如果把这6种旋转当成是U, D, F, B, L, R的六种转动，我们就得到了五阶魔方块与复三阶魔方的完整对应：

好了，下图就是Carl Hoff制作的实体版本的Complex 3x3了：

redcarrot

关于复三阶，上面的行文基本已经完整了。但是人们并不是凭空直接想出来的这个概念。

事实上，人们在探索“复三阶”的路上也走过一些“弯路”——即考虑了Imaginary的块的一个子集。起初，Andreas Nortmann和Carl Hoff考虑的并非“一个块能被几个旋转转动”，而是“一个块能在哪些旋转下保持不动”。他们考虑的不仅限于外层旋转，而是“一个旋转轴方向上的所有旋转层”。以三阶魔方为例，有三个“轴方向”，每个方向上有三个旋转层，每个块在总共9个旋转层中的6个下保持不动。例如，中心轴在六个外层转动下保持不动，U面中心块在L,R,F,B,D,E(UD方向中层)下保持不动，UFL角块在三个中层及D,B,R三个外层下保持不动，UF棱块在B,D,L,R四个外层及E,S(FB方向中层)下保持不动。换句话说，你可以抓着这个块，把它当做“轴”，来操纵魔方，达到所有的状态。这样的一个块被称为一个“Holding Point”（转动支点）。在这种分析下，六轴n阶魔方都没有新的块出现。

斜转魔方是第一个非平凡的例子：在四个轴方向，每个方向两旋转层下，一共有2^4=16种选择，而斜转的表面只有14个块。按照如下图的Rubik Skewb Notation，六个中心块分别在在FBRL, fbrl,FRfr, BRbr, FLfl, BLbl四个操作下保持不动，八个角块分别在Bblr, BbLR, Llfb, LlFB, Rrfb, RrFB, Fflr, FfLR四个操作下保持不动。容易看出，我们缺少了在LUfb及在FBlu操作下不动的块。这种多出来的块被称作“virtual”（虚拟）的，相对的，普通的块称为“real”（真实）的。

包含所有“真实”的和“虚拟”的块的魔方称作“Augmented”（增广）的。2017年，Carl Hoff制作了Augmented Skewb，展现了这一思想，具体地对应关系可以自己分析一下，或者看看后面的参考资料。不过这个魔方本身没有对复原产生新挑战。

关于Virtual的块还有另外一种理解方式：它是一个Holding Point（可以抓住它对其他部分旋转），但在直线切割中它的体积退化为0，因此，Andreas Nortmann也把它称为Zero-Volume Holding Point (ZVHP)。对应的，他称imaginary的块中不是virtual的块为Non-Holding Point(NHP)，即它不能作为一个“抓住”的块，对魔方进行旋转。（小小地吐糟一下，Andreas Nortmann非常追求完整、精确地刻画，所以他起名字往往长而晦涩……）

redcarrot

行文中有这么多英语我很抱歉……因此，在最后，对文中想阐述的几个概念做个总结吧：

魔方的块分为三种：
实的，或者说真实的（real），也就是我们熟悉的普通块加上高阶魔方"内部"的块。
虚拟的（virtual），或者说零体积的转动支点（ZVHP），也就是假想出来的可以在一系列转动下保持不动的块。
虚的（imaginary），通过分析每个块能被几个旋转面（grip）影响得到的不是实的块，包含了虚拟的块以及非转动支点（NHP）。

包含所有真实的块的魔方称为真实的(real)
包含所有真实的和虚拟的块的魔方称为增广的（real+virtual=augmented）
包含所有实的和虚的块的魔方称为复的（real+imaginary=complex）

Real同时有"真实的"和数学上"实的"两重意思，也是很有趣的小小文字游戏了~

现在，我们对每个旋转轴上一道切割的魔方的增广形式和复形式都有了了解，真实五阶、增广斜转（事实上也是复斜转）和复三阶都已经被制作出了实体。对于更复杂的魔方，比如五魔方，一些虚的块是否能被真正实现在魔方中我们仍不得而知。不过，就像四维魔方永远无法在现实中实现那样，我们仍可以通过模拟和数学来研究那种块的性质，有无必要就是见仁见智的问题了。

我们标题提到了两个概念：Deeper-than-origin与Complex puzzles。事实上，这篇文章远远没有完整地展现这两个概念的全部。对于前者，我们只作为引入提到了最简单也最容易理解的情形，而它的起源甚至没有提到，后来的发展也十分丰富，以后可以再写一篇；对于后者，一个简单的问题是，高阶的复魔方该怎么去定义和分析--到底怎么才算"高阶"，怎么才算一个旋转面，这都是需要解决的问题。TP上也有大量的讨论，只是完全读懂需要太多时间，以后找机会吧。

参考资料：
关于"深切"的讨论，对"Grip"有比较系统地介绍：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=33406
对"虚块"和"复魔方"的第一次讨论：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=15667
对Deeper-than-origin概念的第一次讨论：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=24039
Augmented Skewb：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=31613
对高阶Complex Cubes的讨论：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=18651

redcarrot

最后说说写这篇东西的感想~

TP上面有很多“讨论串”，有关于魔方解法的，也有关于魔方设计、魔方理论的。这样的讨论串往往蕴含着很多深刻的思想，但读起来非常困难。不过，只有完整地读完一个讨论串，了解到一个概念被创造的过程，才能真正弄懂很多事情。

这次是我第一次试图阅读一个完整的讨论串，读得过程很艰难，因为相对比较散乱。不过单论Complex 3x3 这个话题的话，Carl Hoff单独写过一篇文章，但是发在了付费的期刊上，还没有电子版，有实体版的朋友希望能发出来看看~当然，很多思想还是要糊掉讨论串本身才能理解。想读的TP上的讨论串还有好几个，比如探讨何谓jumble的，比如探讨非jumble魔方的设计可能性的，比如对平面魔方的群性质的分析等等。以后有机会好好读读的话，我也会把“读书报告”发过来。

正文中可能有些内容还不完善，之后也会修改，修改后的最终版本会发到我的公众号“魔方范畴”，欢迎大家关注。

小希

厉害

yyglxc

厉害，谢谢分享！

honglei

仿真软件有几款魔方和你说的是不是一样.
圆圈里的块都是0面.
这些魔方都有两种棱块.

redcarrot

honglei 发表于 2018-10-11 20:23
仿真软件有几款魔方和你说的是不是一样.
圆圈里的块都是不0面.
这些魔方都有两种棱块.

对的，这些都是complex 3x3的子集
国内貌似只有你和schuma解过这一类魔方？

honglei

schuma当初重点推荐的几款魔方.
刚开始解的时候有点懵,魔方竟然会有两组棱块,并且需要单独解决.