简单半切理论

下个明天很快来

ok，先做个自我介绍：我是B站的“下个明天很快来”，一名初二生，在文章中可能会出现一些数学术语之类的小错误，望包容。

这个帖子设计探讨和理论两个都沾点，权衡利弊选择发到这里。

说明：这个帖子的内容是对别的设计师的讨论整和而成，主要的内容由Ben Streeter编写

文章目录：
（一）讨论背景
（二）判定方法
（三）新问题
（四）结语

（一）讨论背景
As we all know，半切（有时称为对分）魔方是一个很“奇妙”的种类。这里面有
因4轴还是8轴被争论不休的----斜转魔方（Skewb）
早期运用3D打印技术的----铬魔方（Little Chop）
本人的破解噩梦----巨兽魔方（Behemoth）
无数设计师的梦魇----Big Chop（无中文名）
但是观察这些魔方，会发现一个很明显的问题：有些魔方非常复杂，例如Pentultimate；但有些很简单，例如Minimal Deca系列
为此，Oskar提出一个概念：将半切魔方分为 复杂半切魔方（Complex deep-cut）和 简单半切魔方（Simple deep-cut）
对此，魔友们展开讨论：是否有方法可以判定一个轴系的魔方是否为简单半切魔方呢？

（二）判定方法
先列出一些定义

半切魔方的定义（由Jason Smith给出）：
1.存在球体S 使得每一个切割平面与S相交，并满足过任意一个交点作S的切面都与对应的切割面C垂直
2.每一个切割面C与S的交线都在S上组成一个大圆
3.任意切割面C旋转小于2pi的度数后存在至少1个大圆（不包含该切割面对应的大圆）
注：如果遇到像122魔方这种只有2个轴的，添加一个半切轴即可分析

简单半切魔方的定义：对于一个半切魔方，如果它能用凹凸卡角实现（不用Shell，Skirting Rails或者其他结构）并具有一定功能（不一定要全功能），则称该魔方为简单半切魔方

这里我们拿斜转魔方举例：

当然，看一个魔方是不好分析的，我们取其精华（切割面）

然后，思考一下，能否用数学方法分析每一个切割面呢？答案是肯定的，甚至是简单的——单位向量
随便抓一个平面，作一个垂直于它的单位向量：

这里把这个面标记为黄面，这个向量是整个操作的基准，记为F0
接下来，选取和黄面夹角最小的（这里标记为红面）

很明显，红面可以用两个单位向量表示，我们选取和F0夹角更大的那个
以此类推（注意：每添加一个切割面的对应向量，参照的夹角应为与上一个向量的夹角，而不是F0）

最后得到：


然后，分析：
1.向量和为0向量
2.没有两个向量与F0的夹角互补

按照这两条规定，斜转魔方是简单半切魔方——就这么分析出来了

当然，我们也会遇到特殊情况
以2阶魔方举例

取其精华

添加F0

然后取夹角最小（这里两个都是pi/4，任取一个）的切割面，然后…两个两个可以表示红面的向量与F0的夹角相等，同样任取一个
以此类推

得到

和为

向量和不为0向量，不满足1
于是，2阶魔方是复杂半切魔方

当然，也有满足1不满足2的

以Dave's Diamond举例







最后得到

容易看出向量和为0向量，但是很明显该魔方不满足2，于是该魔方也是复杂半切魔方

好了例子就举这么多，现在，让我们反过来思考，为什么这两条标准能进行判定呢？
对于1，它使得了每个切割线是“均匀分布”的，使得整个魔方可以以凹凸卡角结构创建
对于2，它使得凹凸卡角在同一侧，不会导致凸对凸导致无法旋转的问题

（三）新问题
然而，这个方法有破绽！
让我们看一下这个魔方（注意：这个魔方不等价于斜转！不是图画的不好！）

取其精华

建立F0

其他的不用讲了


得到

旋转一下

好吧，这并不好分析，让我们转个角度

明显的，向量和为0向量，满足1
任意两个夹角不互补，满足2
所以，它是一个简单半切魔方（吗？）

事实上，在制作的过程中，设计师们发现它并不是！！！
问题出在哪？让我们重新看看

注意看上面两个向量！它们垂直！这意味着经过旋转，两个凸的卡角可能会到一个切割面的两侧！

解决这个问题的方法也很简单：添加第3个条件：没有正交向量

增加的第三个条件之后，我们还发现：之前验证过的Dave‘s Diamond也不是简单半切魔方！

（四）结语
我在破解Behemoth的过程中，发现即使Behemoth是一个简单半切魔方，但它依然会出现凸和凸卡角分居两侧的情况，这是为什么？不得而知。但这说明了这个理论还要完善。
是否有无穷多的简单半切魔方？我认为答案是肯定的，但我们能把它们挖掘出来多少呢？

最后，我发现很多jumble only的简单半切魔方都非常难…这难道是什么巧合？

kilominx

才初二？！
本高二牲自愧不如...
另外图中所作的垂直于平面的向量在高中阶段叫做法向量（补充）

下个明天很快来

kilominx 发表于 2024-11-5 11:05
才初二？！
本高二牲自愧不如...
另外图中所作的垂直于平面的向量在高中阶段叫做法向量（补充）

了解了，谢谢