[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

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循环变换的迷雾——“无效变换”

1.有效变换、无效变换的定义：

以下是引用ggglgq在2004-6-24 7:57:21的发言：

十一、有效变换的定义

一、有效变换的定义:
1.步长为 1 的变换均为有效变换；
2.设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 a1 a2 a3 ... a(n-1) an
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 无效，
否则称变换 an 使变换 A 有效。

比如： 变换 (-a) 使变换 a 无效。
如果 a b c d e f 为有效变换，且 a b c d e f (-c) 如同 a b d e f ，
则称变换 (-c) 使变换 a b c d e f 无效。此时得到 a b c d e f = a b d e f c 。

显然，所有的 最少步变换 均是 有效变换。如果 (-c) 使 a b c d e f 有效，
则得到任何以由 c 结束的变换均与 a b c d e f 不同。

3.设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 an 使变换 A 有效，
则称变换 a1 a2 a3 ... a(n-1) an 为有效变换。

二、左有效的定义：
设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，变换 an a1 a2 a3 ... a(n-1)
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 左无效，
否则称变换 an 使变换 A 左有效。

比如：如果 a b c d e f 为有效变换，且(-c) a b c d e f 如同 a b d e f ，
则称变换 (-c) 使变换 a b c d e f 左无效。此时得到 a b c d e f = c a b d e f 。

显然，如果 (-c) 使 a b c d e f 左有效，则得到任何以由 c 开始的变换均与
a b c d e f 不同。

由“有效变换”定义的第 2 条，我们不妨这样定义“无效变换”。
设变换 A = a1 a2 a3 ... a(n-1) 为有效变换，a1 a2 a3 ... a(n-1) an
如同直接去掉了 A 中某一步长为 1 的变换，那么称变换 an 使变换 A 无效，
此时，我们称 变换 a1 a2 a3 a(n-1) an 为无效变换。
并且，任何以无效变换 a1 a2 a3 a(n-1) an 打头的变换都是无效变换。

比如：c z (-c) 为无效变换，那么 c z (-c)、c z (-c) a、c z (-c) b a
等等都是“无效变换”。

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2.引用“宇宙飞碟”有关“缩回变换”说明：

以下是引用宇宙飞碟在2004-5-25 8:20:50的发言：


既然有人已经证明了正六面体三阶魔方的循环变换的步数和[或长度]为偶数，那么就没必要考虑长度为奇数的循环变换了[五魔方存在长度为奇数 5 的循环变换]。 问题：显然不存在长度为 二 的循环变换，但是否存在长度为 六 或 十 的循环变换呢？ 请大家考虑，若有请给出，若没有请给出证明；若有其它想法的请跟贴指教。


噢，差点忘了给大家再介绍三个冒牌循环变换，我想该叫它们“缩回变换”了吧？大家看应该叫个啥好呢？


长度为 二 的“缩回变换” ：

value="R1R3"


长度为 六 的“缩回变换” ：

value="R1U1D1U3D3R3"


长度为 十 的“缩回变换” ：

value="F3B3R1U1D1U3D3R3F1B1"


当今社会，请大家注意鉴别真假李逵，谨防假冒“循环变换”呀！！ 请大家回真循环变换贴子时，要特别当心出现这种带有“缩回变换”色彩的无效步骤呀！！

呵呵，他们仅是“无效变换”的几个特别的例子！用“缩回变换”还是比较形象的。

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3.引用“乌木先生”对“循环变换球面网”的错误认识：

以下是引用乌木在2005-6-15 20:24:22的发言：

确实，态A经UDU'D'等等的四边形回路，与UUUU一样，都回到态A，再小的回路（三角形）好像不存在。

UDU'D' 是无效变换，因为 UDU' = D 是无效变换，所以 UDU'D' 是无效变换。
因此它不是循环变换。它在“循环变换球面网”中则呈现返回折线的无效变换。
但 UUUU 是有效变换，并且是循环变换。它在“循环变换球面网”呈现正方形。

所有的循环变换在“循环变换球面网”中均呈现高维空间的正多边形“圆”的
图样！（如正三角、正方形等等都是“圆”），请大家参阅我的“循环变换球面网”
的相关内容。

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4.引用“邱志红”在《续一式解万方》中把“无效变换”当“循环变换”用：

以下是引用邱志红在2005-9-23 23:34:16的发言：

续一式解万方

-------- N 阶魔方的其他问题及延伸

作者：邱志红

　　是不是觉得很不可思意。还是觉得不可能。那我就证明一下吧。

　　证明：1.对于大于 S 的层次，至少第 S 个转层是不参加转动的，因为大于 S 的层次根本就没有那个转层。现在来看一下 H 函数吧。看看缺少某一个转层即缺少某种颜色字符的层之后的 H 函数是怎么样的吧。

H(p,q,r)=Y_pZ_q^--Y_r^-Z_qY_p^-Z_q^--Y_rZ_q

　　如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=Z_q^--Y_r^-Z_qZ_q^--Y_rZ_q=I

　　如果缺少 -Y_r 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_pZ_q^-Z_qY_p^-Z_q^-Z_q=I

　　如果缺少 Z_q 层的参与，那么 H(p,q,r)= Y_p-Y_r^-Y_p^--Y_r=I

上面的 I 表示循环操作。发现三个转层缺少任何一个参与，该操作就成了循环操作了。这样就证明了大于 S 的层次即 S 层次里面的层次是不受 H 函数影响的，所作的是循环。

2。对于小于 S 的层次，即 S 层次外面的层次的问题就不好办。因为它不象上面那样至少有一个层没参与转动。它可是三个转层都参与转动了啊，但也是一个循环操作。

如果对所有转动了的小块进行跟踪，要进行 3n²-2n 次跟踪，是不现实的。明显地单体分析是行不通的，还是要整体分析。要是能像上面那样利用循环就方便多了。

为了让大家看得更清楚，我把 H(p,q,r) 进行了加括号处理：

H(p,q,r)=(Y_p)(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Y_p^-)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)

如果缺少 Y_p 层的参与，那么 H(p,q,r)=(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)=(Z_q^-)(-Y_r^-)(-Y_r)(Z_q)=(Z_q^-)(Z_q)=I

这时的(Z_q^-)(-Y_r^-)(Z_q)(Z_q^-)(-Y_r)(Z_q)是典型的连环“无效变换”，它并不是“循环变换”。

其它两个也一样。

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5.小结：请大家理解运用“循环变换”知识时，一定要正确理解“循环变换”
的定义，不要和假循环变换“无效变换”混淆。因为她可能影响您对“循环变换”
的其他相关问题的思考。

即：理解“循环变换”首先要理解“有效变换”，理解“有效变换”首先要
绕过循环变换的迷雾——“无效变换”。

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循环变换的迷雾——“无效变换”

1.有效变换、无效变换的定义：

2.引用“宇宙飞碟”有关“缩回变换”说明：

3.引用“乌木先生”对“循环变换球面网”的错误认识：

4.引用“邱志红”在《续一式解万方》中把“无效变换”当“循环变换”用：

5.小结：请大家理解运用“循环变换”知识时，一定要正确理解“循环变换”
的定义，不要和假循环变换“无效变换”混淆。因为她可能影响您对“循环变换”
的其他相关问题的思考。

即：理解“循环变换”首先要理解“有效变换”，理解“有效变换”首先要
绕过 循环变换的迷雾——“无效变换”。

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以下是引用乌木在2005-10-9 19:51:34的发言：

一时找不到我6.15.那话在哪里说的，不管它了。

1、“UDU'D'”是个循环变换，以及与之相应的四个态构成

的“四边形”，都是客观存在；

再小的循环不存在。好像当时我仅是说明这一点而已。

当时我还没“有效无效”的概念。

如果它是无效变换，并不影响它是个循环变换。

“有效无效”和“循环不循环”好像是两个概念。

2、好像当时我只是讨论“态态关系网”，其中不能排除“UDU'D'”

这一“网眼”。而您现在所说的网仅是“态态关系网”中

按一定要求“提炼”出来的一种网。

如果现在我要把“UDU'D'”纳入您现在所说的网，

那才谈得上“对……的错误认识”。

3、申诉之余，您的“纠错”还是有积极作用的：

今后不要把无效变换错误地纳入“循环变换球面网”才是。

---

答复请您见下贴。

[此贴子已经被作者于2005-10-10 8:56:38编辑过]

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以下是引用乌木在2005-10-9 19:51:34的发言：

1、“UDU'D'”是个循环变换，以及与之相应的四个态构成

的“四边形”，都是客观存在；

再小的循环不存在。好像当时我仅是说明这一点而已。

当时我还没“有效无效”的概念。

如果它是无效变换，并不影响它是个循环变换。

“有效无效”和“循环不循环”好像是两个概念。

乌木 先生 您 对“循环变换”的理解有误，请您看“循环变换”的定义。

以下是引用ggglgq在2004-6-3 14:33:33的发言：

2.魔方循环变换的定义：
对于 有效变换 A ，如果 A = 1 ，并且 any(circle0(A),half(A))
都是最少步变换，则称变换 A 为循环变换。记作：
循环变换 A 或 circle(A)

即：“循环变换”是“有效变换”，“无效变换”一定不是“循环变换”。

只有当一个变换是“有效变换”时才考虑它是否是“循环变换”，只有
极个别的“有效变换”是“循环变换”。“循环变换”的概念要求极其苛刻！

如果按您的理解，小于 4 的循环不是不存在，比如 F F' 就是长度为 2
的循环！这显然不对，就是因为它是“无效变换”！

[此贴子已经被作者于2005-10-10 8:51:26编辑过]

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    乌木 先生：

    （能否说是无数的？）大多数人理解的“循环”可以说是“无数的”！
正是因为这种无规律的“无数”，使人忽略了它更深层次的“浓缩”！
    “循环变换”概念就是这种“浓缩”意义上的“循环”，她的定义
使得“循环变换”个数“有限”，并且她的个数不大于她所对应的魔方
的总状态数。（注：由旋转、对称得到的“循环变换”，可归为“同一”
“循环变换”）

    （建议在您的循环变换之前冠以适当的限词或干脆更名。）这个建议
很好。我想，您理解的“循环变换”可能就是“循环”吧。呵呵，把您搞
糊涂了。我当初也怕大家也糊涂，特地把“循环变换”的定义写在最前面，
可是大家还是被所谓的“循环”搞糊涂了。
    我想，不妨把她叫做“紧致循环变换”或“浓缩循环变换”等之类的
名称，您看哪个更合适？或者另取其他限词？总之，“循环变换”这个词
是不能缺少的吧？您看呢？

    另外，“循环变换”理论现在还处于刚起步阶段，我想等她发展较为
成熟后再考虑重新改版，那时再对其所有名称定义规范一下。现在大家先
将就着理解。我想，现在就让大家慢慢体会这种“紧致循环变换”没什么
不好，至少可以让大家理解其中的所有“半子变换”都是“最少步变换”，
很有意义的。也好让有这方面才能的广大爱好者积极参与“最少步变换”
的研究工作。您看呢？

 

[此贴子已经被作者于2007-5-26 17:23:20编辑过]

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<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<FONT color=#ff0000 size=6>“奇偶差异性魔方”的定义</FONT><BR>&nbsp;&nbsp; &nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<FONT color=#0000ff><STRONG>定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”</STRONG>，<BR>&nbsp;<STRONG>称这样的魔方为“奇偶差异性魔方”。<BR></STRONG>&nbsp; &nbsp;</FONT></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;即：奇偶差异性魔方，只能有步长为偶数的循环变换。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;例如：&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1、2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；<BR></P>
<P>&nbsp;&nbsp;<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、0123 魔方 具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6 的循环变换；<BR><IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0802/20080209_1cd15052fcee1c9c484e3i2bOMPGzKbl.png" border=0><BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3、通常意义的 正六面体 N 阶魔方 全部都 具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度<BR>为偶数的循环变换。&nbsp;&nbsp;注意：<FONT color=blue><STRONG>旋转 180 度按两步计算</STRONG></FONT> 。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>
<P><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;有意思的是：如果一个具有“奇偶差异性”的魔方，同时具备这个魔方所在的空间各个<BR>方向的几何对称性，那么这个魔方具有“<FONT color=#ff0000>奇、偶状态数相等</FONT>”的属性，当然 <FONT color=#0000ff>奇、偶状态数<BR>都是 总状态数 的一半</FONT>。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;比如上面举的三种“奇偶差异性”魔方的奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。</P>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp; <BR>
<P align=right>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 12:18 编辑 ]