[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

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    这里需要说明的是：乌木 先生前面作出的相关解释大多数算是正确的，谢谢。
  
但其中的 “目前已知三阶魔方最远态是20步态，它们个个都是终极状态。对吗？”
  
我还不敢否定。 但若规定 正六面体 N 阶魔方 旋转 180 度为 2 步，则是正确的。
  
但 正六面体三阶魔方 旋转 180 度为 1 步，可能存在“ 20 + 1 = 20 的现象”。
  
（请容许我犯如  20+1=20 的小学生错误，这不需要解释吧？！人生 活得太累。）
  
虽然这种“ 20 + 1 = 20 的现象”出现的可能性比较小，但在没有证明 《不存在
  
“ 20 + 1 = 20 的现象”》之前（或许本来就存在“ 20 + 1 = 20 ”的两状态），
  
我们最好不要冒然把“正六面体 N 阶魔方 旋转 180 度为 2 步 的结论”套用在
  
“正六面体 N 阶魔方 旋转 180 度为 1 步 的结论”上。
  
  
  
      注： 上面的“我还不敢否定”，它的意思是“我基本上持‘否定’态度”。
  
之所以这样说，是因为我还没有找到一个“ 20 + 1 = 20 ”的两个“相邻状态”
  
（即“相邻最远态”）。这只是针对 正六面体三阶魔方 “旋转 180 度为 1 步”
  
说的。 对 正六面体 N 阶魔方 “旋转 180 度为 1 步” 而言 ，“相邻最远态”
  
是存在的，即“正六面体 N 阶魔方 旋转 180 度为 1 步 非终极状态的 最远状态”
  
是存在的，即“正六面体 N 阶魔方 旋转 180 度为 1 步 的最远态 都是终极状态”
  
不成立 ！
  
  
    正六面体 N 阶魔方 最远状态 不是 终极状态 的 实例：
  
    与 “正六面体二阶魔方 旋转 180 度为 1 步 的最远状态”
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U'
  
相邻的以下五个“正六面体二阶魔方 旋转 180 度为 1 步 的状态”，全部都是
  
“最远状态”（五个“状态”，对应十个“最少步变换序列”）：
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' R
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' R'
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' F
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' F'
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' F2
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' L
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' L'
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' B
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' B'
  
    R2F R'U R F2U'R U R2U' B2
  
而且它们甚至还有彼此之间相差“ 90 度的单位操作”的“最少步变换序列”。
  
因此 正六面体二阶魔方 的最远状态 R2F R'U R F2U'R U R2U' 不是终极状态。
  
  
  
　　另注：这儿我还是在使用 “状态”=“最少步变换序列” ！因为这并非 错误，
  
因为我们可以这样 定义 和 默认定义。 相关的诠释，我不想再给出，没什么意思！
  
人生何必活得太累？！  这里欢迎大家更深入地探讨 实质性问题。  谢谢 ！
　　
　　
　　
　　
　　
　　

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    如果一个状态具有像《终极状态》里例举的实例的对称性，当然容易判定其
  
为“终极状态”了。但对于一般状态，目前只能依据定义判定，比较繁琐。希望
  
黑白子 能帮忙探寻一个简便可行的方法来判断一个 状态 是否是“终极状态”，
  
也算是 颇有建树 了。
　　
　　
　　
  
    引入“终极状态”的初衷，主要目的是为了探讨 奇偶差异性魔方 最远状态
  
的性质（旋转 180 度为 2 步），从而便于寻找 奇偶差异性魔方 的 最远状态。
  
因为“终极状态”的性质对于 旋转 180 度为 1 步 的正六面体 N 阶魔方 来说  
  
大多数状态成立（少数状态不成立），所以它只能当作“辅助工具”使用。
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2010-8-26 08:08 编辑 ]

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原帖由 黑白子 于 2010-8-26 16:21 发表

问几个问题：
1、什么是变换？我理解变换就是一组公式，对吗？
2、什么是变换A的积？是指步长的乘积吗？
3、什么是单位元？单位元是数字1吗？
4、什么是有效变换？什么是无效变换？能举一个例子吗？
5、变换A的长度是90度为一步吗？步长为1的变换就是U、R等转动，对吗？
6、循环变换和循环公式是一个概念吗？  

　　
　　
  
    欢迎大家研究探讨魔方的 循环及循环变换理论。下面简单回答一下 黑白子
  
提出的有关问题。
  
  
    1、什么是变换？我理解变换就是一组公式，对吗？
  
    可以这么理解的。
  
  
    2、什么是变换A的积？是指步长的乘积吗？
  
    “积”是“群论”的基本概念，就是指变换 A 的值，不是“步长的乘积”。
  
  
    3、什么是单位元？单位元是数字1吗？
  
    “单位元”是“群论”的基本概念，可以理解为 1 ，但不是 1 。
  
  
  
    4、什么是有效变换？什么是无效变换？能举一个例子吗？
  
      比如 U D U 是有效变换，而 U D U' 是无效变换。 定义比较麻烦，考虑
  
的情况比较多，算了，不给出“有效变换”、“无效变换”的定义了。
  
  
    5、变换A的长度是90度为一步吗？步长为1的变换就是U、R等转动，对吗？
  
    对于 正六面体 N 阶魔方 来说，应该是这样。 当然，旋转 180 度为 1 步
  
也是没有太大问题的，只是需要考虑的情况更复杂。
  
    这里需要强调一点，魔方不全是“正六面体 N 阶魔方”，因此，没有 90
  
度 之说。
  
  
    6、循环变换和循环公式是一个概念吗？
  
    不是。
　　
　　
　　

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原帖由 黑白子 于 2010-8-27 07:51 发表
  
我对“终极状态”的理解：
设到达状态A的最小步是18步（每步90度），从状态A出发，往前走一步（U、R……等每步90度的动作）得到状态B的集合（共12个），设到达状态B的集合（共12个）的最小步分别是 x个17步、y个18步、z个19步，x+y+z=12。若z=0,则状态A是终极状态；若z≠0，则状态A不是终极状态。这样理解对吗？

　　
　　
  
    我在《终极状态》一文中，“终极状态”的意义是：
  
    http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=514&extra=&page=2
  
    若 y + z = 0 ，则 状态 A 是 终极状态 。
  
    若 y + z ≠ 0 ，则 状态 A 不是 终极状态 。
  
  
    请大家对比数学里的“极值”，“终极状态”和“极值”类似，都在强调
  
“局部 极”。 而“最值”和“最远状态”则在强调“全局 最”。
  
  
  
  
    当然，我们可以“针对” 旋转 180 度为 1 步 的 正六面体 N 阶魔方 而
  
特别制定如：
  
    若 z = 0 ，则 状态 A 是 终极状态 。
  
    若 z ≠ 0 ，则 状态 A 不是 终极状态 。
  
的“终极状态”。它的适用性更广泛，不仅仅是 “正六面体 N 阶魔方”适用，
  
“奇偶差异性魔方” 也适用，其他 各类魔方 都适用。
  
  
    因此，本人非常赞同 黑白子 这种拓展 奇偶差异性魔方 “终极状态” 的
  
定义，使它适用于 各类魔方 。
　　
　　
　　

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    当然算“循环”了。
  
    但它们不是“循环变换”。
  
    “循环”与“循环变换”的共同点仅为：它们是值都为 1 。
　　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
    乌木 先生 156 楼所说的实际上是对“循环公式”的理解，基本上是
  
正确的。
  
  
    真是不谋而合呀， Cielo 对“循环公式”的理解是完全正确的。谢谢！
  
下面是我对 “循环公式” 的 简明解释，和 Cielo 157 楼理解的基本一致！
  
  http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=58758&page=6#pid1119125
  
  
也就是说，“循环变换”是极其特殊的“循环公式”，它是值为 1 的 并且
  
所有半子变换都为最少步 的“循环公式”。
　　
　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2010-9-6 09:06 编辑 ]

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    回楼上两位： 只能说，可以那么理解！
　　
　　
　　
　　

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黑白子 发表于 2013-9-23 10:47
1、对于n阶魔方来说，循环变换是否就是周期为1的公式？
2、对于n阶魔方来说，如果执行一个公式后对于纯色魔方已经还原，但对于全色魔方已经还原，这个公式是否叫循环变换？

　　
　　
　　
　　
　　
  
    一、周期为 1 的公式 只能看成是一个“循环”。 只有这个公式所对应的变换还满足其
  
所有半子变换 都是 最少步变换，才能称为循环变换。
  
    二、全色魔方已经还原 只能叫“循环”。
　　
　　
　　
　　
　　

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    嗯，Two-Phase Algorithm 并非是 双向广搜算法，不然它就是严谨的最少步算法了。
  
记得 铯 的《论二阶魔方的计算机求解及优化》是 双向广搜算法，但 不知何故 被阁下
  
删除了？！   上面的引用说的就是 双向广搜算法。
  
  
    想当初我对 循环变换 的浓缩法还是信心满怀的。但就一个 正六面体三阶魔方 的
  
最少步就已让我费尽心机，撞得头破血流了，到现在才知道 正六面体三阶魔方 最远态
  
要 26 步（我以前一直想象的是 22 步），就别说高阶魔方了（双向广搜算法 不现实）。
  
    因此，后来我把 循环变换 引向 循环变换球面网 —— 希望用图论（结合群论）和
  
度量（高维度量空间）等方法，来拓展研究 魔方 的最少步。  比如：
  
      http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=34872
  
      http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=7532
  
等都是我后来加的。
  
  
    能指出《循环变换概论》这些不严谨的地方，说明 铯 是个有心人啊。希望我们能
  
从不同角度出发，不断挖掘深藏在魔方内部的宝藏，为我们的魔方最少步理论添砖加瓦。