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[原创]魔方循环变换理论概述（待完善） [复制链接]

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发表于 2005-11-16 10:51:21 |显示全部楼层

“奇偶差异性”魔方的性质
   “奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方的奇、偶状态独立。     
    由于 “奇偶差异性”的魔方只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的任何奇数 步长的变换都无法被偶数步长的变换表示，从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”， 即这种魔方的奇、偶状态独立。    
   正六面体 N 阶魔方所谓的“扰动”、“非扰动” 本质上就是这种魔方的“奇、偶差异性”。 这是因为她不存在步长为奇数的循环变换造成的。这不能不说是“缺憾”，可惜的是正六面体 N 阶魔方都是这种具有“缺憾”的魔方。   
    反过来说，比如正十二面体五魔方存在长度为 5 的循环变换，所以正十二面体五魔方 不是“奇偶差异性”的魔方，因此正十二面体五魔方不存在所谓的“扰动”、“非扰动” 。
                 
 

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发表于 2005-11-16 11:06:22 |显示全部楼层

魔方的“最远状态”与“奇偶性”无关 
     大家或许以为这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 有关，实际上 这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 是没有任何关系的。 
<DIV class=quote>以下是引用大烟头在2005-10-4 13:27:03的发言： 
三阶魔方有二种状态:扰动状态,非扰动状态。它们的总状态数是一样的，而且随着步长交叉出现的。
这现象是否说明离魔方初始状态的最远状态是扰动状态！
这两个状态就象两只手叉在一起，相互距离最远的手指不是同属于一个手掌内，初始状态是非扰动状态，那它的最远状态就是扰动状态！
不知我这想法有没有道理？[em01]</DIV>

     魔方的“最远状态”与 “奇偶性” 无关。   
即：魔方的“最远状态”独立存在于“奇偶性”或者所谓的“扰动”、“非扰动”之外。
 为简明起见，这里引用乌木先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家看看：
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>  
     乌木先生的“ 2×2 平面魔方”图解给大家展示了“最远状态”是偶数 4 的例子。
“最远状态”是奇数的例子也很简单：   <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0802/20080209_1cd15052fcee1c9c484e3i2bOMPGzKbl.png" border=0>      如  0123  魔方，它的“最远状态”是奇数 3 。     
     她们两个具有共同的属性：奇、偶状态数相等，都是总状态数的一半。但“最远状态” 却可奇可偶。因此烟头的论断有误，比如正六面体二阶魔方的最远状态步数为偶数。  注：旋转 180 度按两步计算   
     关于“正六面体三阶魔方”的最远状态的论述，请大家参考：<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=514&extra=&page=2">魔方的最远状态要几步复原</A>。
                    

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发表于 2005-11-16 11:16:56 |显示全部楼层

虽然这种具有“奇偶差异性”的魔方的“最远步长”与“奇偶性” 无关，但是这种魔方 的“最远步长”却有极好的特性： 
<DIV class=quote>以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言： 
 定理一：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。
证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ， 使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。 假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的 长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换， 假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x）， 则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ， a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ， 设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。 因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而变换 B 又由 d 开始， 故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ， 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换， 故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换， 又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。 （若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方矛盾。） 因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1) 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换， 所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。 （若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x 即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换， 亦得矛盾。） 即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ， 所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。 又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。
 同理，再由“有效变换的定义”可证得： 定理二：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。 </DIV> 
     比如 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，因此她的最远变换可以从任意方向开始，也可以 从任意方向结束； <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0>               

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:29 编辑 ]

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发表于 2005-12-14 19:46:36 |显示全部楼层

以下是引用ggglgq在2005-11-16 10:51:21的发言：

“奇偶差异性”魔方的性质

“奇偶差异性”魔方的性质：具有“奇偶差异性”的魔方的奇、偶状态独立。

由于 “奇偶差异性”的魔方只能有步长为偶数的循环变换，因此决定了她的任何奇数
步长的变换都无法被偶数步长的变换表示，从而决定了这种魔方的“奇、偶差异性”，
即这种魔方的奇、偶状态独立。

这两天大家争论的所谓的“扰动”、“非扰动” 本质上就是这种魔方的“奇、偶差异性”。
她是因为她不存在步长为奇数的循环变换造成的。这不能不说是“缺憾”，可惜的是正六面体
N 阶魔方都是这种具有“缺憾”的魔方。

反过来说，比如正十二面体五魔方存在长度为 5 的循环变换，所以正十二面体五魔方
不是“奇偶差异性”的魔方，因此正十二面体五魔方不存在所谓的“扰动”、“非扰动” 。

以下是引用jinyou在2005-12-14 11:00:15的发言：

几个问题

想知道面块的处理复原方法。
是不是有高手知道内部虚拟魔方的处理复原方法，做到完全复原。
内部虚拟魔方和外部魔方是否没有关系，即理论上内外是否都能转到我要的图案。

本人来发表些拙见，就算抛砖引玉吧！

1.面块的复原可以按照常规方法复原（网上很多，不再介绍），金优先生
是这方面的高手，您过谦了。
2.如果面块复原了，便可以按照 3 楼的方法或者参照本人的拙作：
[原创]我来玩玩“正六面体三阶魔方”－－－《循环公式》复原内部虚拟魔方。
3.如果面块复原了，那么内部任何虚拟魔方都不会出现所谓的“扰动现象”，
反之如果内部任一虚拟魔方出现了所谓的“扰动”，那么，面块肯定没有复原！
4.由 3 可以得出：内部虚拟魔方和外部魔方存在某种制约关系的，即理论
上内外不能都转到我们想要的图案。
5.不能简单地把这种“内部、外部魔方存在的某种制约关系”描述为“扰动”，
因为最外层的“扰动”不影响内部，但内部的“扰动”一定影响最外层。
6.可惜的是，这样的“某种制约关系”在理论区暂时无法得到有效的统一。
因为那里的理论好象也存在“某种制约关系”。[em01]而这种“制约关系”恰恰
是 2 楼问题的答案。本人目前无暇更无意去掺和这种“制约关系”。[em07]

7.用“循环变换理论”解释这种“制约关系”很简单，就是对应的“转层”
均应保持“奇偶相同性”！相关论述请参考本人拙作：“奇偶差异性”魔方性质。

8.欢迎大家在这里无拘无束地畅谈这种“内部、外部魔方的制约关系”。

大家不妨用金优先生的“内部虚拟魔方软件” ，
在这里研究金优先生提出的上述问题。

[此贴子已经被作者于2006-3-5 11:27:08编辑过]

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发表于 2005-12-26 21:25:39 |显示全部楼层

以下是引用jinyou在2005-12-22 9:50:03的发言：

猜想：内部虚拟魔方的状态，与外部面块的完全复原有干扰。
如果能证明，就是定理。

以下是引用ggglgq在2005-12-14 17:38:43的发言：

7.用“循环变换理论”解释这种“制约关系”很简单，就是对应的“转层”
均应保持“奇偶相同性”！相关论述请参考本人拙作：“奇偶差异性”魔方性质。

高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”保持“奇偶相同性” 的简单“证明”（阐明）

一、高阶魔方的“最外层”、任意嵌套魔方的“中间层”（奇数阶魔方才有“中间层”）：

1.高阶魔方的“最外层”与它自己具有“奇偶完全相同性”。

2.任意嵌套魔方的“中间层”（奇数阶魔方才有“中间层”）具有“奇偶完全相同性”。

二、高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”：
（以五阶魔方为例阐明，下面举的例子的内部嵌套魔方全部都是完全还原状态）

1.嵌套魔方对应的同一“转层”相差 “偶数步（奇偶相同性）”的实例：

2.嵌套魔方对应的两个对应的“转层”相差“奇数步”（两个奇数和还是偶数）的实例：

3.由 1、2 两方法组合构造出的具有“奇偶相同性”的“转层”：
如果各嵌套魔方对应的“转层”步数和相差 “偶数步” ，那么我们总可以通过
1、2 两方法使它们对应的“转层”达到“奇偶完全相同”。

小结：高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”。

三、高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”是不可能发生“奇偶差异性”的：

因为正六面体 N 阶魔方是“奇偶差异性”魔方，即：对应的“转层”的奇数步状态
与偶数步状态不能互相表示。因此高阶魔方的任意嵌套魔方的对应的“转层”是
“奇偶相同的”。

换言之，高阶魔方任意嵌套魔方对应的“转层”是不可能发生“奇偶差异性”的。要么
同时“奇数步”，要么同时“偶数步”。

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发表于 2005-12-26 21:27:35 |显示全部楼层

高阶魔方的任意嵌套魔方对应的“转层”步数和具有“奇偶相同性”的实现方法举例说明：
（用五阶魔方的实现方法各举一例。下面的例子的内部嵌套魔方全部都是完全还原状态）

1.嵌套魔方对应的同一“转层”相差 “偶数步（奇偶相同性）” 的实现方法：

2.嵌套魔方对应的两个对应的“转层”相差“奇数步” 的实现（两个奇数和还是偶数）：

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发表于 2006-1-7 15:45:35 |显示全部楼层

<DIV class=quote>以下是引用jinyou在2006-1-4 10:34:29的发言： 
随机装配魔方是否能完全复原的快速判断方法。 魔方的基本概念在此不解释了。以下只讨论虚拟五阶魔方。
虚拟五阶魔方125个小块共分为9组加1个中心连轴（有位置） 外部中心块组含6块（有色向） 内部中心块组含6块（有色向） 内部角块组含8块（有位置，还有色向） 内部边块组含12块（有位置，还有色向） 外部角块组含8块（有位置，还有色向） 外部边块组含12块（有位置，还有色向） 外部侧边块组含24块（有位置） 外部斜心块组含24块（有位置） 外部直心块组含24块（有位置）
由于小块形状不同，只能在同组的位置里交换位置。 求一组内各小块交换到复原情况所需要的交换次数，为奇数次称为奇态记作“=1”，为偶数次称为偶态记作“=0”。 两块对换称为交换一次，魔方的任意两个“能完全复原的形态”互相变化，需要交换偶数次，而不可能交换奇数次。 中心连轴共有24种位置。假设中心连轴上的小块也能交换，中心连轴位置需要的交换次数，为奇数次称为奇态记作“=1”，为偶数次称为偶态记作“=0”。 中心块有4种色向取值为0，1，2，3。求一组小块的色向之和除以2的余数，如果余数为零，记作色向=0。不为零，记作色向=1。它们有位置特点。 边块有2种色向取值为0，1。求一组小块的色向之和除以2的余数，如果余数为零，记作色向=0。 角块有3种色向取值为0，1，2。求一组小块的色向之和除以3的余数，如果余数为零，记作色向=0。
猜想魔方特性： 内部角块组色向=0；内部边块组色向=0；外部角块组色向=0；外部边块组色向=0。
以下是交换位置的特点 外部角块组 = 外部中心块组色向 = 外部斜心块组 内部角块组 = 内部中心块组色向 = 外部侧边块组
中心连轴位置 = (内部角块组 + 内部边块组) mod 2 中心连轴位置 = (外部角块组 + 外部边块组) mod 2
外部侧边块组 = (外部斜心块组 + 外部直心块组) mod 2
符合这些特点的就说明，这样装配的魔方能完全复原。
如只研究交换位置。即只有8种情况（竖排） 中心连轴位置 0 0 0 0 1 1 1 1 外部中心块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部角角块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部边边块组 0 0 1 1 1 1 0 0 内部中心块组 0 1 0 1 0 1 0 1 内部角角块组 0 1 0 1 0 1 0 1 内部边边块组 0 1 0 1 1 0 1 0 外部侧边块组 0 1 0 1 0 1 0 1 外部斜心块组 0 0 1 1 0 0 1 1 外部直心块组 0 1 1 0 0 1 1 0 这是穷举得到的。举了几万次，显然与总可能数相比是忽略不计的。 乱装的完全复原率为8/(1024*2*3*2*3)=1/4608
证明思路： 魔方所有合法的转动动作都可以用4个基本动作来表示。这四个基本动作是U，MUU，CU，CR。用穷举法即能证明，略。 U 改变了外部中心块组，外部角块组，外部边块组，外部斜心块组，外部直心块组的奇偶态。外部侧边块组奇偶态不变。内部中心块组，内部角块组，内部边块组不影响。 MUU 改变了外部侧边块组，外部直心块组，内部中心块组，内部角块组，内部边块组的奇偶态。外部斜心块组奇偶态不变。外部中心块组，外部角块组，外部边块组不影响。 CU，CR略。影响多个组。
在定义好每个位置的色向0，1后，对色向也可以做类似的证明。 另外4阶只是把5阶魔方藏去一部分，没有用理论去单独研究的必要。但是，人玩确实很有趣。
因为强行考虑虚拟内部情况，看来和忍冬的表述有差异。
金优</DIV>

 金优先生总结的很精辟，再详尽些就可成为一部真正意义上的“正六面体 N 阶魔方(内外嵌套)” 定律。
  

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-2-3 12:02 编辑 ]

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发表于 2006-2-13 12:20:19 |显示全部楼层

为了使大家更好地理解魔方的最远状态（或任意状态）与循环变换的关系， 我在这里用二阶平面魔方的最远状态（二阶平面魔方只有一个最远状态）做说明：
注：因为二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家好理解，其它魔方同理。
      1.找到一个循环变换（很难找的，对于二阶平面魔方当然容易了）； <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-2/20062131251399109.gif"> 
            比如二阶平面魔方的一个最长的循环变换（由两个最长变换构成）：
                        L R U D R L D U     
     2.由于一个循环变换的 “逆变换”也是循环变换，故得到 L R U D R L D U  “逆变换” U D L R D U R L  也是一个循环变换。     
（请大家注意，对于其他魔方来说 L R U D R L D U “逆”为 -U -D -L -R -D -U -R -L ， 对于二阶平面魔方才有 -U -D -L -R -D -U -R -L = U D L R D U R L ，因为它 有长度为 2 的循环变换：比如 U U 。这一点对其他魔方不适用的）   
  
  
  
    3.由循环变换 L R U D R L D U 得到以下八个半子变换都是最远状态：           L R U D           R U D R              U D R L                 D R L D                     R L D U                          L D U L                            D U L R                                U L R U        4.由循环变换 U D L R D U R L 得到以下八个半子变换都是最远状态：              U D L R            D L R D                L R D U                   R D U R                       D U R L                           U R L U                               R L U D                                   L U D L    
     
          5.二阶平面魔方只有一个最远状态，大家可以试试。其他魔方可就复杂多了！ 以上十六个半子变换（全是最少步变换）都指向同一个最远状态。 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-2/20062131251399109.gif"> <A href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=18&ID=153&star=1&page=1" target=_blank> </A> 
[此贴子已经被作者于2006-2-13 12:26:16编辑过]

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:34 编辑 ]

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发表于 2006-11-6 09:03:43 |显示全部楼层

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2004-6-18 7:53:19的发言：

        对了，顺便说一下，对于正六面体的三阶魔方，这个“前 N 步的节点”
的魔方最少步库构造时，再考虑和它旋转、对称后都相同的最少步，就要
至少除以 48 （ 6 个面，每个面都有 4 个相邻面，确定了两个相邻面即
固定了该魔方，然后再考虑对称的 2 种情形，即可得 6 x 4 x 2 = 48 ）
即得按《魔方循环变换理论》制作的正六面体的三阶魔方最少步库的
大小为  4.325200 E+19 的算术平方根除以 48 得到：137 M 即 0.137 G 。
然后考虑每个字节所表示的数值最大为 256 ，六个面共有 12 种步长为 1
的变换，256 > 12 x 12 ，因此每个字节又可至少装下两个步长的变换，
从而由 137 M  除以 2 得到：68.5 M  。所以我们可以最多用 68.5 M 的
存储空间，即可进行 The Two-Phase Algorithm 算法。这确是一个喜人的
数字，也是一个理想中的数字，对于程序员们来说，要走的路还长 ......

有关４８态问题请大家参考：48 同态图解

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发表于 2006-11-6 15:11:05 |显示全部楼层

不知黑王子先生您何时上线，很是思念呀。论坛中好象有很多身怀绝技的
高手多是以“侠客”、“隐士”的身份在论坛中出没呀。

下面引用黑王子先生的帖子，感谢黑王子先生细心留下的这些珍贵的资料！

QUOTE:

以下是引用黑王子在2006-1-25 2:28:53的发言：

二阶魔方最远状态计算机程序运行结果

 完成态 1
 第01步 9
 第02步 54
 第03步 321
 第04步 1847
 第05步 9992
 第06步 50136
 第07步 227536
 第08步 870072
 第09步 1887748
 第10步 623800
 第11步 2644
 第12步 0
 总 数 3674160
 < 详情待续> QQ: 470967421

QUOTE:

以下是引用黑王子在2006-5-10 20:27:38的发言：

本人将G老师的程序运行结果整理以便分析比较:

          旋转 180° 按一步计算
=========================================
完成态                  1
第 1 步                 2
第 2 步                 5
第 3 步                19
第 4 步                68
第 5 步               271
第 6 步              1148
第 7 步              4915
第 8 步             18364
第 9 步             39707
第10 步             13225
第11 步                77
第12 步                 0
=========================================
合   计             77802

          旋转 180° 按两步计算
=========================================
完成态  ：              1
第 1 步                 1
第 2 步                 3
第 3 步                 6
第 4 步                17
第 5 步                59
第 6 步               217
第 7 步               738
第 8 步              2465
第 9 步              7646
第10 步             19641
第11 步             28475
第12 步             16547
第13 步              1976
第14 步                10
第15 步
=========================================
合   计             77802

请大家对比这个结论，再仔细研究一下。可以证明 “48 态”的极限值为 48 。
大家也可以参考即将出炉的 “常见魔方最远状态的最少步数” 的数据仔细分析！

～～宇宙在旋转运动～

～魔方在循环变换～～

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魔方理论探索者

十年元老

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