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一加一为什么等于二? 两种回答 [复制链接]

魔葱

蓝魔

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电梯直达

1^#

发表于 2009-2-1 19:52:54 |只看该作者 |倒序浏览

第一种回答
如果一定要彻底弄明白为什么1+1=2，需要先弄清什么是自然数，然后再弄清什么是自然数的“加法”（＋）。
把这两个定义弄清了之后，你就会明白，1+1确实等于2　
简述一下：
第一，自然数的概念：
皮亚诺的经典定义是：
　　① 1是自然数。
　　② 1不是任何其他自然数的后继。
　　③ 每个自然数都有一个后继（这里记α的后继为α(+)）
　　④ α(+)=b(+)　蕴涵α=b。
　　⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1,且S含有α蕴涵S含有α(+)，则S含有任何自然数。
　　上述五条缺一不可，严格界定了“自然数”的概念。这个定义看起来又臭又长，但在数学的历史上却很伟大。为了理解楼主的问题“为什么1＋1＝2”，其实我们只要掌握到，根据上述定义，1是第一个自然数，1的后继（称它为2）也是自然数，是第二个自然数；以此类推，3、4、5。。。都是自然数，这就够了。
　（补充一下，后来，为了使用集合论语言描述自然数的方便，人们又换了一种说法，定义第一个自然数是0，0的后继是1，等等。这个变更与皮亚诺的定义并没有实质性的改变。大约在九十年代，我国的中小学正式改用“0是第一个自然数”的定义。）
第二：自然数的加法的定义。
加法定义：
对任何自然数α,b,存在惟一的自然数α+b，满足
①α+1=α(+),
②α+b(+)=(α+b)(+)。
α+b称为α与b的和，相应的运算称为加法。
这个定义第一条是说：任何自然数与1相加，结果等于这个自然数的后继！
至于什么是后继呢？这个纯粹是定义而已，具体前面已经说过了：1的后继是2，2的后继是3……
第二条后面再讲。
这个定义采用了所谓“递归”的方法，即，定义本身包含了需要被定义的概念
根据这个定义，1＋1应该等于1的后继，即2！这就回答了“为什么1＋1＝2”这个初看起来很无聊，但细究起来很很培养人的抽象、逻辑思维能力的问题。
扩展开来，同理，2＋1＝“2的后继”，即3。写作：2＋1＝2（＋）＝3；
6＋1＝6（＋），即7，等等。
以上我们只学会了某个自然数“加1”的结果，如果要计算任意两个自然数相加，譬如5＋6，就需要上面加法定义的第二条了。
求任意两个自然数相加的方法如下，以5＋6为例。
请注意下文所使用的符号，括弧内一个加号，表示的是“后继”：
5＋6其实就是5＋5（＋），根据前述加法定义的第二条，它应该等于“（5＋5）的后继”，即（5＋5）（＋）；
先不要急着下断言，认为此式即为10（＋），因为我们现在并不知道5＋5等于10啊！
那么，“（5＋5）的后继”，即（5＋5）（＋），究竟是多少呢？我们前面已经掌握了某个自然数“加1”的计算方法，经过一步一步地推理，最后我们就能确定“（5＋5）的后继”。
5＋5其实就是5＋4（＋），根据前述加法定义的第二条，它应该等于“（5＋4）的后继”，即（5＋4）（＋）；
5＋4其实就是5＋3（＋），根据前述加法定义的第二条，它应该等于“（5＋3）的后继”，即（5＋3）（＋）；
5＋3其实就是5＋2（＋），根据前述加法定义的第二条，它应该等于“（5＋2）的后继”，即（5＋2）（＋）；
5＋2其实就是5＋1（＋），根据前述加法定义的第二条，它应该等于“（5＋1）的后继”，即（5＋1）（＋）；
好了，根据加法定义的第一条，我们知道：
5＋1等于6。
这样，倒推回去，得：5＋2＝（5＋1）（＋）＝６（＋）＝7
5＋3＝（5＋2）（＋）＝7（＋）＝8
。。。
最后我们得出： 5＋6＝11
按照这个程序，我们可以得出任意两个自然数相加的结果，当然，如今我们已经不必如上述过程一步步地推理了。我们就按照小学生的办法计算，就可以了。

你看了以后，也许会气愤不过，大骂一声：这简直是在脱裤子放屁。
但是，严格的数学理论，对我们一般人来说，确实就是这么变态啊。

第二种
1、2都只是符号，都只是人定的，所以1+1=2只是一个表达式罢了，如果当初人们把“3”定义为“1”，“4”定义为“2”，那么我们现在就没有1+1=2了，而是3+3=4。
哥德巴赫猜想并不是去证明1+1=2之类，而是：
(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

所谓的1+1、1+2等等都是一个形式，他的意思：偶数可表示为 s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”)，是不是指我们现在一直在说的“1+1=2”

原来,一个无聊的问题,也可以这样