四维斜交六角12根鲁班锁

林风

试做样本

邱志红

顶

乌木

这是A_Apple贴在本区的一个图（图中少了两根“销子”），这12根圆柱加粗、变六棱柱、并改用铆榫结构大概就成为1楼的更奇妙的、难度更大的拼装智玩了。
与这12圆柱拼装智玩有关数学的一些初步讨论见本区另一帖：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=624&page=1&extra=page%3D11

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-3 16:42 编辑 ]

乌木

四个方向上各有三柱，它们和立方体的关系见下图：

[此贴子已经被作者于2006-12-10 18:14:14编辑过]

林风

这个锁有4个轴，任意2个轴均成60°（异面直线）。每个轴方向有3根棍。端点所在平面（8个）构成正8面体。 

一般鲁班锁、6面体魔方有3个轴，任意两轴均为90°。端点所在平面构成正6面体（正方体）。

乌木

6楼说：“这个锁有4个轴，任意2个轴均成60°（异面直线）。每个轴方向有3根棍。端点所在平面（8个）构成正8面体。”
我认为，4个“轴”可以交于一点的。即，每根“轴”移到三根柱的中心（每“轴”周围平行分布三根柱子），这样的四根“虚轴”就是立方体四根空间对角线，该立方体可以内接于所说的八面体（见下图）。正八面体每两个平行的面的面心的连线就是相应的一根“虚轴”所在处。
此外，立方体两空间对角线的夹角为70°32′（或者再准确些为70°31’44”），所以相应的两根柱子所代表的异面直线的夹角也是70°32’。说60°恐怕是误解了。这个角度应该有关该锁的制作的。    

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-24 16:36 编辑 ]

林风

轴之间的角度不等于外接正多面体对角线的角度，而等于外接正多面体平行面的公垂线之间的角度。

实际制作也证实，锯掉的槽口与轴线成60°角。如下图

乌木

您说：“轴之间的角度不等于外接正多面体对角线的角度，而等于外接正多面体平行面的公垂线之间的角度。”

我说的立方体空间对角线正是那外接正八面体平行面的公垂线，它们的交角不是60°。

反之，您制作时用了60°（这样显然方便些），那么是否外接的不是正八面体，而是（非正）八面体？

比如，它的两根空间对角线是相等的，但第三根空间对角线就长了一些。也就是说，如果一个正八面体有一根空间对角线是竖直方向的，它伸长了一些后，八面体上下两个顶点的距离变大些，其余四个顶点的坐标不变，得到的八面体有点“拉长”了，属于一般的八面体。

在后一种八面体中，里面的12根柱子还是一样长，12根柱子与八面体内接时（三个端头）的一点点“不服贴”的小问题不明显，因为60°和70°32’相差不算大。

[此贴子已经被作者于2006-12-12 13:40:31编辑过]

林风

乌木说的轴间夹角是对的。他把轴间夹角的计算转换成由正八面体各面的正三角形的中心所构成的正方体的八根对角线的夹角计算。思路巧妙，我看明白了。谢谢！