【求算最小值】百人答题之后的数据猜想……[已有参考答案]

migl

(1) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对一道题或一道题以上。
(2) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对二道题或二道题以上。
(3) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。
(4) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对四道题或四道题以上。
(5) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有80人，91人，95人，68人，76人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对五道题。

(6) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有90人，81人，95人，58人，86人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（  ）人答对三道题或三道题以上。

这种类型的题目的解题思路是怎样的呢？
数字的变化会影响结果吗？
大家来说说看。

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老感觉这标题有点像问卷调查，改成：求算最小值，显得专业一点。
要注意一点：以上七道题各自独立求解，互不关联。
当然，如果前五题只有相同的唯一解，就另当别论。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 09:34 编辑 ]

migl

由于本人手头上没有所谓的标准答案，所以能解此题者最好能给出解题思路。
如果只是猜想，倒是可以不用给出思路，但最好能标明“我猜想是……”这类的以示区别。
谢谢配合。

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目前，这7道题已经证实了的参考答案为：（ 只证实有解，未证实其为“最小值”。 ）
95、91、80、76、68、86、82。

目前的最少值为：（ 分析过程在32#楼  By：noski ）
95、86、71、55、10、76、70。

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06154 在7# 楼提供了参考答案。
本人在10#楼分析了此参考答案的思路。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-7-14 09:43 编辑 ]

migl

不会这么高深吧。我觉得只是一般的计算而已。

migl

解题时最好能给出思路。
看了半天，推测你的思路为：

第四题有68人答对，（ 这 68人全对。 ）
在此基础上，又有8人答对第五题，则第五题有76人答对，（ 这8人答对一、二、三、五 ）
在此基础上，又有4人答对第一题，则第一题有80人答对，（ 这4人答对一、二、三 ）
在此基础上，又有11人答对第二题，则第二题有91人答对，（ 这11人答对二、三 ）
在此基础上，又有4人答对第三题，则第三题有95人答对。（ 这4人答对三 ）
所以，整个就是全对的为68人，5人一题未对。

哇噻，这么简单。

大家看看这条思路是否有欠妥之处。
如果这几道题互不关联，则仍然是这样来解吗？
会不会有更小的最小值？

migl

我感觉这个答案不赖。
至少证明了此题有解。

migl

我看两位还是抽空把思路大概地说说吧。
说不定大家看过之后还能找到漏洞来。

migl

(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（ 70 ）人答对三道题或三道题以上。

我对第7题 提点个人见解：（ 感觉这个特例好理解一点。 ）
100个人做五道题，则一共有500个选择，现在选对的有：82*5=410 个，则选错的有 500-410=90 个。
如果这90个错误选择被30个人均分，那就是每人错3题，对2题。
此时，有70人全对，剩余的30人均是错3对2。
符合题意的解为 70 。

通俗地来理解，就是有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，且数量上都是82个写着“对”，18个写着“错”。
现在有100个人依次从五个箱子里“抓阄”。
结果有70个人都是抓到了五个“对”，30个人都是抓到了3个"错"2个"对"。

migl

８２，８２并不等于１００，６４

这个怎么来理解呢？


我并没有说剩下的30个人对的是同一题，错的也是同一题。
难道是说抓阄后，不能保证30个人 类似随机般地 刚好抓到3个“错”2个“对”？

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 17:33 编辑 ]

migl

我刚用抓阄的思路想出了一些东西。不如也一起鉴定一下吧。

第5题的解为：10。
一共有90个“错”。匀一匀，就是10人无“错”，90人各有一个“错”。

有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，1~5的箱子里写着“对”的铭牌分别有80个，91个，95个，68个，76个，其余的都写着“错”。
100个人依次“抓阄”。
结果有10人都是抓到了5个“对”，90人都是1个“错”4个“对”。

第4题的解为：55。
一共有90个“错”。匀一匀，就是55人无“错”，45人各有二个“错”。

有五个箱子，每个箱子里有100个铭牌，1~5的箱子里写着“对”的铭牌分别有80个，91个，95个，68个，76个，其余的都写着“错”。
100个人依次“抓阄”。
结果有55人都是抓到了5个“对”，45人都是2个“错”3个“对”。

第3题不能用此法。因为第4题只有68人做对。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-19 17:35 编辑 ]

migl

只以第7题为例。（ 还是讨论一下 70 的可行性 ）
如果要使答对三道及以上的人数最少，那就要使答错的人数尽可能地多。但是错的形式也很有讲究。

与 06154 同样的道理，须使错3题及以上的人最多。而总共只有90个“错”的机会，90/3才能使符合题意的“错”的人最多，为30人。
由于所有的“错”的机会已经被那30人分光了，所以剩下的70人只能是五题全对。

既然刚才计算时是“/3”，即每人都是错3题，那么，就会有每个人都是3“错”2“对”。这种情形是否存在将是此思路成败的关键。（ 经 骰迷 提醒后，本人才注意到此问题。 ）

经过思考，初步得到这样的示意图。（ * 表示“对”，- 表示“错”。 ）
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由于70人全对，在此略去。剩余的30人进行“模拟抓阄”时，可以形成示意图所示的结果。（ 每道题都还剩下12个“对”。 ）
由此看来，确实无法实现每人都能3“错”2“对”。
但是此时只多出了6个符合题意的人，即符合题意的解为70+6=76。

但是，上面提到的这个不是最好的结果。

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007 *--*-
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确实可以每人都能3“错”2“对”，即符合题意的解为70。
(7) 100个人做五道题，如果从第1题到第5题分别有82人，82人，82人，82人，82人答对，那么，在这100个人中，至少有（ 70 ）人答对三道题或三道题以上。

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其它题目用此法比较繁琐，而且很乱，希望能找到更简单合理的方法。