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平几爱好者进 [复制链接]

Osullivan

黄魔

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电梯直达

1^#

发表于 2009-7-29 13:12:43 |只看该作者 |倒序浏览

画一个圆，随便做出一个内接多边形。从某个顶点出发，沿对角线将这个多边形剖分为三角形，作出每个三角形的内切圆。求证：所有内切圆的半径之和是一个常数，也就是说内切圆的半径之和的大小与你最初选的是哪一个顶点无关。
图.jpg

平面几何爱好者做做这题，挑战挑战~~~~~~~

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进攻就是最好的防守！

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chrisvana

蓝魔

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发表于 2009-7-29 13:45:30 |只看该作者

好像很好玩的样子，要做一堆辅助线。

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9HEADMOUSE

白魔

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3^#

发表于 2009-7-29 14:50:06 |只看该作者

有意思的一道题，期待高手解决！
难道也可以用立体（球体）思维方式解决？

[ 本帖最后由 9HEADMOUSE 于 2009-7-29 14:54 编辑 ]

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Cielo

透魔

有空了学学4D二阶

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4^#

发表于 2009-7-29 18:34:09 |只看该作者

瞎猜个：
用面积，再加上弦长只与所对圆周角有关，不知道能不能证出来

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crmxm

白魔

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5^#

发表于 2009-7-29 20:25:29 |只看该作者

可以证得出来，我刚试了一下，有些复杂，不过还是可以证的

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Osullivan

黄魔

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6^#

发表于 2009-7-29 20:43:16 |只看该作者

原帖由 crmxm 于 2009-7-29 20:25 发表
可以证得出来，我刚试了一下，有些复杂，不过还是可以证的

怎么证明的？可否提示一下~~~~~~~~~
这题貌似是世界难题哦~~~~~~~
起源于日本，很多数学家都在寻找证明方法~~~~~~~

进攻就是最好的防守！

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crmxm

白魔

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7^#

发表于 2009-7-29 20:53:27 |只看该作者

是吗，先证对于圆内接4边形成立
而对于圆内接三角形显然成立
再进行归纳

对其进行推广可得
经过推导可以得出对于圆内接n边形（n≥3），其对角线分成顶点为其顶点的（n-2）个三角形，这些三角形的内切圆半径和与外接圆半径比值等于
其顶点分圆的各段弧所对的圆周角的余弦值之和减去三角形的个数（即n-2）。
数学语言表达为
设∑r_n为其半径和，R为外接圆半径，θ₁……θ_n为其圆周角
则∑r_n=R（∑cosθ_n+2-n）

[ 本帖最后由 crmxm 于 2009-7-30 09:58 编辑 ]

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