三只蚂蚁相向爬行

lulijie

平面上有三个不同的点，坐标分别是：点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
初始有三只蚂蚁，位置分别在上述各点上。爬行方法如下：
        每只蚂蚁朝着其他蚂蚁（任意选择一只）所在的点爬行，爬行的距离等于它们之间距离的1/4。
完成第一次爬行后，所有蚂蚁爬行的路程的总和记做S(1)。
......
完成第n次爬行后，所有蚂蚁爬行的总路程（从第1次一直到第n次）的总和记做S(n)。
n趋向于无穷时，S(n)的极限记做S。
问题：
    1. 求S的最大值Smax和最小值Smin。
    2. S的取值范围是否能取Smin和Smax之间的任何数。
    3. 当n趋向无穷时，所有的蚂蚁都聚在一个点（称作某种爬行方法的最终点）上。那么所有可能的最终点在平面上构成什么图形（或求这些点的集合）。
比如初始位置为A(3,4)，B(5,5)，C(2,1)，解答上述问题。
或简单些，初始3个点构成等边三角形，初始边长为a。
－－－－－－－－－－－－－－－－－
说明：1  A蚂蚁朝着B蚂蚁所在的点爬行：在爬行过程中，尽管B蚂蚁离开了原位置，但A蚂蚁爬行的方向不变，这时A蚂蚁爬行的方向不朝着B蚂蚁，只朝着B蚂蚁原先呆的地方。
          2  由于每只蚂蚁爬行的距离不一定相等，可能某蚂蚁已爬到目的地，其他蚂蚁还未爬到。在进行下一次爬行时，必须等所有的蚂蚁就位后才进行。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-25 22:41 编辑 ]

danil0816

lz这是初二的题？好长啊，我觉得分类讨论就行

tm__xk

感觉是个线性递推....

lulijie

当初始A、B、C三点构成等边三角形时。
用电脑来模拟随机过程（每只蚂蚁爬行的方向随机确定）600000次。
把最终点全部用红点绘出。得到以下图：

所以我猜测
     所有可能的最终点将构成一个三角形（包括内部的点），这个三角形以AB、BC、CA的中点为顶点。
但是不是三角形内部的点都是最终点呢？

lulijie

电脑随机模拟过程中，得到的   （设等边三角形边长为1）
Smin=1.96042946526756
Smax=2.2116467736806
但对于求连续值（或相当于连续值）的最大值和最小值时，用随机方法很少能真正获得正确的结果（有效数字基本相同就算正确），但可以提供其大致的范围。
要求准确的值，必须依靠理论。