题目4

yinjiaqiu

一组数字叫"完全相反" 如果这组数字的数字元素都是大于一的不同整数,还有这些数字元素的倒数合是一. 找出数字组 S, 越小越好,其中包括了两个"完全相反" 的小组, A和B. 数字小组A和B是不同的两组,但是他们可以共有相同的数字元素. 证明没有其它数字组的数字元素比 数字组S包括两个"完全相反"的小组少.

郭天聪

既然是最少元素，且他们可以共有相同的数字元素，为什么A、B两个数组是不同的？相同不是更少吗？

Joseph

我们不妨可以限定A所含有数字的个数不多于B的数字个数。

首先这些数字至少需要三个，因为如果是两个数字，则即使取最小的两个2、3都会得到1/2+1/3<1，不可能等于1。

（1）、如果这些数字有三个，假设是p、q、r，并且p<q<r，根据定义得到1/p+1/q+1/r=1。但是1=1/p+1/q+1/r<3/p，所以p<3，所以p只能是2。 把p=2代入1/p+1/q+1/r=1，就得到1/q+1/r=1/2。但是1/2=1/q+1/r<2/q，所以q<4，所以q只能是3。 把q=3代入1/q+1/r=1/2中，就得到r=6。

（2）如果这些数字有四个，假设是p、q、r、r，并且p<q<r<s，根据定义得到1/p+1/q+1/r+1/s=1。但是1=1/p+1/q+1/r+1/s<4/p，所以p<4，所以p可以是2或3。

当p=2时，代入1/p+1/q+1/r+1/s=1，就得到1/q+1/r+1/s=1/2。但是1/2=1/q+1/r+1/s<3/q，所以q<6，所以q可以是3、4、5。 当q=3时，代入1/q+1/r+1/s=1/2，就得到1/r+1/s=1/6。但是1/6=1/r+1/s<2/r，所以r<12。另外由1/r+1/s=1/6得到s=6r/(r-6)=6+36/(r-6)。当r-6=1，即r=7时，s=42；当r-6=2，即r=8时，s=24；当r-6=3，即r=9时，s=18；当r-6=4，即r=10时，s=15。 当q=4时，代入1/q+1/r+1/s=1/2，就得到1/r+1/s=1/4。但是1/4=1/r+1/s<2/r，所以r<8。另外由1/r+1/s=1/4得到s=4r/(r-4)=4+16/(r-4)。当r-4=1，即r=5时，s=20；当r-4=2，即r=6时，s=12。 当q=5时，代入1/q+1/r+1/s=1/2，就得到1/r+1/s=3/10。但是3/10=1/r+1/s<2/r，所以r<20/3，r只能取6。但此时得到s=15/2，不是整数。

当p=3时，代入1/p+1/q+1/r+1/s=1，就得到1/q+1/r+1/s=2/3。但是2/3=1/q+1/r+1/s<3/q，所以q<9/2，所以q只能取4。 当q=4时，代入1/q+1/r+1/s=2/3，就得到1/r+1/s=5/12。但是5/12=1/r+1/s<2/r，所以r<24/5，没有任何整数满足4<r<24/5。

综合（1）、（2），有三个数字的完全相反数字只有2、3、6（1/2+1/3+1/6=1）；有四个数字的完全相反数字有下面六组：2、3、7、42（1/2+1/3+1/7+1/42=1）；2、3、8、24（1/2+1/3+1/8+1/24=1）；2、3、9、18（1/2+1/3+1/9+1/18=1）；2、3、10、15（1/2+1/3+1/10+1/15=1）；2、4、5、20（1/2+1/4+1/5+1/20=1）；2、4、6、12（1/2+1/4+1/6+1/12=1）。

根据上面的结论，可以得到S为这些数字2、3、4、6、12，其中A中的数字为2、3、6且B中的数字为2、4、6、12，或A中的数字为2、4、6、12且B中的数字为2、3、6。

[此贴子已经被作者于2004-11-20 22:34:38编辑过]